topologia:ext.cont [WikiMat]

====== Extensões contínuas: introdução ======

Nem sempre teremos funções contínuas para trabalhar, mas às vezes podemos contornar este problema estendendo essas funções, 
de maneira a "eliminar" os pontos de descontinuidade.  

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=== Definição ===
Dados $X, Y$ espaços topológicos, seja $A\subset X$ e $f:A\rightarrow Y,~g:X\rightarrow Y$ funções contínuas. Dizemos que $g$ é extensão contínua de $f$ se $g|_{A}=f|_{A}.$

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Entretanto nem sempre temos a existência de tal extensão contínua. Abaixo podemos ver um exemplo simples onde isso acontece.

=== Contraexemplo: ===

Considere a função $f:\mathbb{N}\rightarrow [0,1]$ definida por:

$f(n)=\begin{cases}1~~~\text{se} ~n~\text{é par}, \\ 0~~\text{se}~n~\text{é ímpar}.\end{cases}$

Pela definição do espaço das sequências convergentes, sabemos que $\infty$ é "ponto de acumulação" de $\mathbb{N},$ desta forma $\mathbb{N}$ é denso em $\mathbb{N}\cup \{\infty\}$. É fácil ver que $f$ é contínua, pois estamos considerando a topologia discreta, então o conjunto dos números ímpares e o dos números pares serão abertos em $\mathbb{N}.$ 
Suponha por absurdo que exista uma extensão contínua $g:\mathbb{N}\cup \{\infty\}\rightarrow [0,1]$ para $f$. Mas $\lim_{n\rightarrow \infty}f(n)$ não converge, logo $\lim_{n\rightarrow \infty}g(n)$ não existe, contrariando a continuidade de $g$.

Nesta seção foram usados resultados da seção anterior.

=== Veja também: ===     
  * [[topologia:uni.denso|Duas funções que coincidem em um denso são iguais?]]
  * [[topologia:func.cont. e seq. converg.|Caracterização por sequências]]