topologia:exs_e_props [WikiMat]

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=== Funções contínuas ===
=== Exemplos e Propriedades ===
Há alguns exemplos e propriedades na seção 'Intuição e Definição' de função contínua. Eles seriam parte dessa seção, mas já foram colocados na seção anterior. Aqui, trataremos de outras propriedades.\\
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A proposição a seguir mostra que densos são "empurrados" por funções contínuas: 

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=== Proposição ===
 
Sejam $(X, \tau)$, $(Y, \rho)$ [[topologia:espacoTopologico|espaços topológicos]] e $f: X \rightarrow Y$ uma função contínua sobrejetora. Se $D \subset X$ é denso em $X$, então $f[D]$ é denso em $Y$.
</WRAP>

A forma mais fácil de demonstrar essa proposição é mostrando que $f[D]$ intercepta todo aberto não vazio.\\ 
**Dem.** Seja $A \neq \emptyset$ aberto em $Y$. Note que $f^{-1}[A] \neq \emptyset$, pois $f$ é sobrejetora e $f^{-1}[A]$ é aberto em $X$. Logo, existe $d \in D$ tal que $d \in f^{-1}[A]$, ou seja, $d \in D \cap f^{-1}[A]$, o que significa que $f(d) \in A$. Portanto, $f(x) \in f [D] \cap A$, como queríamos.\\
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Perceba que é necessário utilizar o fato de que $f$ é sobrejetora para garantir que $f^{-1}[A] \neq \emptyset$. Do contrário, $f^{-1}[A]$ poderia ser vazio.
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