topologia:exemplo:ventenum [WikiMat]

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===== Espaço do Ventilador (Enumerável) =====

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**Definição:** Considere
\begin{equation}
    V = \{\infty\}\cup\{a_{m,n} : (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}\}
\end{equation}
com a topologia satisfazendo:
  * Todo ponto $a_{m,n}$ é isolado;
  * $\mathcal{B} = \{B_f \;|\; f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\}$ é uma base local para $\infty$, onde $B_f = \{\infty\}\cup\{a_{m,n} : m \in \mathbb{N},\;n > f(m)\}$.
Tal espaço é chamado **Espaço do Ventilador**.

Abaixo iremos apresentar uma definição alternativa e, também, uma intuição para o problema.

**Definição alternativa:** Considere
\begin{equation}
    X = \{(n,\frac{1}{k}) : n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{N}_{>0}\}\cup\{(n,0):n \in \mathbb{N}\}
\end{equation}
com a topologia usual de $\mathbb{R}^2$. Considere, também, a seguinte relação de equivalência sobre $X$:
\begin{equation}
    x \sim y \Leftrightarrow x = y \quad ou \quad (x = (n,0) \quad e \quad y = (m,0))
\end{equation}
para algum $m,n \in \mathbb{N}$.
Seja $V$ o espaço $X/\sim$ com a [[topologia:topquociente|topologia quociente]]. Tal espaço é chamado **Espaço do Ventilador**.

**Intuição:** Seja $\Omega$ uma coleção de espaços de sequência convergente de forma que cada espaço não possua nenhum ponto de outro. Em termos da primeira definição basta notar que, para todo $m \in \mathbb{N}$, $(a_{m,n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge para $\infty$. No desenho abaixo os pontos maiores são os pontos limites de cada espaço e os menores a sequência convergente. 

{{:topologia:exemplo:captura_de_tela_de_2021-06-20_17-52-51.png?nolink&200}}

Agora, suponha que quocientemos esses espaços, de forma que todos os pontos limites sejam relacionados, isto é, sejam o mesmo ponto x. Note que no espaço quociente, obteremos diversas sequências distintas e sem pontos em comum convergindo para x, formando a ideia de um ventilador.

{{ :topologia:exemplo:captura_de_tela_de_2021-06-20_17-52-54.png?nolink&200 |}}

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=== Axiomas de separação ===
  * [[ventenumT0|É \(T_0\)]]
  * [[ventenumT1|É \(T_1\)]]
  * [[ventenumHausdorff|É \(T_2\) (Hausdorff)]]
  * [[ventenumRegular|É \(T_3\) e regular]]
  * [[ventenumcompreg|É \(T_{3\frac{1}{2}}\) e completamente regular]]
  * [[ventenumNormal|É \(T_4\) e normal]]

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=== Axiomas de enumerabilidade ===
  * [[ventenumBaseLocEnum|Não possui base local enumerável em $\tilde{(0,0)}$.]]
  * [[ventenumBaseEnum|Não possui base enumerável]]
  * [[ventenumSep|É separável]]

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=== Propriedades de cobertura ===
  * [[ventenumcompacto|Não é compacto]]
  * [[ventenumlocalcomp|Não é localmente compacto]]
  * [[ventenumlindelof|É Lindelöf]]
  * [[ventenumparacomp|É paracompacto]]

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=== Propriedades de conexidade ===
  * [[ventenumconexo|Não é conexo]]
  * [[ventenumconexocam|Não é conexo por caminhos]]
  * [[ventenumlocalcon|Não é localmente conexo]]
  * [[ventenumlocalconcam|Não é localmente conexo por caminhos]]

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=== Outras Propriedades ===
  * [[ventiladorseq|Possui sequências convergentes não triviais]]
  * [[ventenum0dimen|É zero-dimensional]]