topologia:exemplo:michaelregular [WikiMat]

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===A reta de Michael satisfaz $T_{3}$ e é regular===
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Sejam $x \in \mathbb{R}$ e $F \subset \mathbb{R}$ fechado na topologia $\tau_{M}$ tais que $x \notin F$. Assim $\mathbb{R} \setminus F$ é aberto em $\mathbb{R}_{M}$ e portanto $\mathbb{R} \setminus F = A \cup B$, onde $A$ é aberto da topologia usual de $\mathbb{R}$ e $B \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Note que assim temos que $x \in A \cup B$. Se $x \in B$, então $\{x\}$ e $\mathbb{R} \setminus \{x\}$ são abertos em $\mathbb{R}_{M}$ (o primeiro, pois $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ e o segundo, visto que [[michaelT1|$\mathbb{R}_{M}$ satisfaz $T_{1}$]]) disjuntos e contendo $x$ e $F$, respectivamente. Caso $x \notin B$, então $x \in A$ e como $A$ é aberto em $\mathbb{R}$ na topologia usual, temos que deve existir $\epsilon > 0$ tal que $]x - \epsilon, x + \epsilon[ \subset A$. Sejam $U = ]x - \frac{\epsilon}{2}, x + \frac{\epsilon}{2}[$ e $V = \mathbb{R} \setminus [x - \frac{\epsilon}{2}, x + \frac{\epsilon}{2}]$ e note que $U, V \in \tau_{M}$, $U \cap V = \emptyset$ com $x \in U$ e $F \subset V$.