topologia:exemplo:espacodecantor [WikiMat]

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===== Espaço de Cantor =====

O espaço $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ é chamado de Espaço de Cantor. 

Como de costume, para todo $ n \in \mathbb{N} $ denotamos por $ p_{n}: \{0,1\}^{\mathbb{N}} \to \{0,1\} $ a projeção da $ n $-ésima coordenada.

=== Axiomas de separação ===

   * [[.:espaçodeCantor:T0|Satisfaz $ T_{0} $ (Kolmogorov)]]
   * [[.:espaçodeCantor:T1|Satisfaz $ T_{1} $ (Fréchet)]]
   * [[.:espaçodeCantor:T2|Satisfaz $ T_{2} $ (Hausdorff)]]
   * [[.:espaçodeCantor:T3|Satisfaz $ T_{3} $ e é regular]]
   * [[.:espaçodeCantor:T31/2|Satisfaz $ T_{3\frac{1}{2}} $ e é completamente regular (Tychonoff)]]
   * [[.:espaçodeCantor:T4|Satisfaz $ T_{4} $ e é normal]]

=== Axiomas de enumerabilidade ===

   * [[.:espaçodeCantor:primerocontavel|Possui bases locais enumeráveis]]
   * [[.:espaçodeCantor:segundocontavel|Possui base enumerável]]
   * [[.:espaçodeCantor:separavel|É separável]]

=== Propriedades de cobertura ===

   * [[.:espaçodeCantor:compacidade|É compacto]]
   * [[.:espaçodeCantor:localcompac|É localmente compacto]]
   * [[.:espaçodeCantor:Lindelöf|É de Lindelöf]]
   * [[.:espaçodeCantor:paracompacidade|É paracompacto]]

=== Propriedades de conexidade ===

   * [[.:espaçodeCantor:conexo|Não é conexo]]
   * [[.:espaçodeCantor:localmenteconexo|Não é localmente conexo]]
   * [[.:espaçodeCantor:conexocaminhos|Não é conexo por caminhos]]
   * [[.:espaçodeCantor:localmenteconexocaminhos|Não é localmente conexo por caminhos]]

=== Outras propriedades ===

   * [[.:espaçodeCantor:metrizavel|É metrizável]]
   * [[.:espaçodeCantor:zerodimensional|É zero dimensional]]
   * [[.:espaçodeCantor:baire|É espaço de Baire]]
   * [[.:espaçodeCantor:quadrado|É homeomorfo ao próprio quadrado]]