topologia:espacometrico [WikiMat]

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===== Espaço métrico =====

Dizemos que $(X, d)$ é um espaço métrico se $X$ é um conjunto e $d: X \times X \to \mathbb R_{\geq 0}$ é uma função satisfazendo, para todo $x, y , z \in X$:

  * $d(x, y) = 0$ se, e somente se, $x = y$;
  * $d(x, y) = d(y, x)$;
  * $d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)$.

Neste caso, dizemos que $d$ é uma métrica sobre $X$.

Dado $x \in X$ e $r \in \mathbb R_{>0}$, denotamos por $B_r(x) = \{y \in X: d(x, y) < r\}$. Tal conjunto é chamado de **bola aberta** de centro $x$ e raio $r$.

Um **aberto** em $X$ é um conjunto $A \subset X$ satisfazendo:
\[\forall a \in A \ \exists r > 0 \ B_r(a) \subset A\]

Note que a coleção dos abertos como definido acima é, de fato, uma [[topologia:espacotopologico|topologia]].

\\ === Definição ===
<WRAP round box 80%>
Dizemos que o espaço topológico $(X,\tau)$ é um **espaço metrizável** se existe uma métrica sobre $X$ que induz a topologia $\tau$.
</WRAP>

=== Exemplo ===

A [[topologia:exemplo:retadesorgenfrey|Reta de Sorgenfrey]] é um exemplo de espaço não metrizável, pois é separável, mas não admite [[topologia:bases|base]] enumerável. Então pela proposição:

\\ Se $(X,d)$ é um [[topologia:espacoMetrico| espaço métrico]] separável, então $(X,d)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, 

\\ ele não é metrizável.

\\ Veja também:

* [[topologia:Separabilidade| Separabilidade]]

=== Exemplos ===

== Espaços metrizáveis ==
---- struct table ----
schema   : outrosTop
cols     : %title%
filter   : metrizavel = sim
max      : 10
----

== Espaços não metrizáveis ==
---- struct table ----
schema   : outrosTop
cols     : %title%
filter   : metrizavel = não
max      : 10
----