topologia:dem:existecamrel [WikiMat]

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** Considere a relação $x$~$y$ dada por existe um caminho de $x$ para $y$. Então ela é uma relação de equivalência. **


\\ (i) Reflexiva: existe um caminho constante $f:[0,1] \longrightarrow X$ dada por $f(x)=x$ com $t \in [0,1]$ para cada $x \in X$. Daí, $f(0)=f(1)=x$.

\\ (ii) Simétrica: Seja $f:[0,1] \longrightarrow X$ é um caminho de $x$ para $y$ com $x,y \in X$. Tome o caminho inverso, uma função $g:[0,1] \longrightarrow X$ dada por $g(t) = f(1-t)$ de $y$ para $x$. Assim, se $f(0)= x$ e $f(1)=y$, então $g(0)=f(1)=y$ e $g(1)=f(0)=x$.

\\ (iii) Transitiva: Se existe um caminho de $x$ para $y$ e de $y$ para $z$, então existe um caminho de $x$ para $z$.
\\ Sejam $f,g:[0,1] \longrightarrow X$. 

Se existe um caminho de $x$ para $y$ com $x,y \in X$, logo temos que $f(0)=x$ e $f(1)=y$. Se existe um caminho de $y$ para $z$ com $y,z \in X$, logo temos que $g(0)=f(1)=y$ e $g(1)=z$.

Considere $l(t):[0,1] \longrightarrow X$ dada por 

\begin{equation}
   l(t) = \begin{cases}
      f(2t) \text{, se } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\
      g(2t-1)\text {, se }\frac{1}{2} \leq t \leq 1
   \end{cases}
\end{equation}


Dessa forma, obtemos:

\\ $l(0)=f(0)=x$.

\\ $l(\frac{1}{2})=f(1)=y$ e $h(t)(\frac{1}{2})=g(0)=y$.

\\ $l(1)=g(1)=z$

\\ Portanto, existe um caminho de $x$ para $z$.