topologia:dem:demopropdseparavel [WikiMat]

Essa página está em modo somente de leitura. Você pode visualizar a fonte, mas não alterá-la. Informe-se com o administrador do Wiki, caso você ache que isso está incorreto.

=== O produto de espaços separáveis é separável. ===

\\ Se $X_n$ é separável então para cada $n \in \mathbb{N}$, seja $D_n \subset X_n$ conjunto [[topologia:densos|denso]] enumerável. Fixe $x=(x_n) \in \prod_{n \in \mathbb{N}} X_n$. Defina

$D=\{ (y_n)_{n \in \mathbb{N}}: \exists F \subset \mathbb{N}$ finito tal que para todo $n \in F, y_n \in D_n$ e para todo $n \notin F, y_n=x_n\}$  

Ao tomar uma quantidade finita de $F \subset \mathbb{N}$, escolho um suporte finito e tenho enumeráveis possibilidades de escolha. Daí, $D$ é enumerável.

Para que $D$ seja denso, tome o aberto básico não vazio $\prod_{n \in \mathbb{N}} A_n$ e mostraremos que a intersecção com $D$ é não vazia.

Para cada $n \in \mathbb{N}$ tal que:

  * $n \in F$, seja $y_n \in A_n \cap D_n \neq \emptyset$;
  * $n \notin F$, defina $A_n=X_n$. 
  
Daí, $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \in D\cap \prod_{n \in \mathbb{N}} A_n$ onde $y_n=x_n$ se $n \notin F$.