topologia:dem:demonstprop [WikiMat]

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Suponha que $X$ tenha uma topologia qualquer, $(X,\tau)$. Seja $\tau$ a topologia forte, será mostrado que o critério vale. 

Se $g$ é contínua, sabemos que composta de contínuas é contínua, logo $g\circ f_i$ são contínuas.

Agora, se $g\circ f_i$ forem contínuas, sabe-se que $(g\circ f_i)^{-1}[V]$ é um aberto em todo $Y_i$.

Note que $(g\circ f_i)^{-1}[V]=f_i^{-1}\circ g^{-1}[V]$. Além disso, $f^{-1}[W]$ é aberto para qualquer $i$. Ou seja, $f_i^{-1}\circ g^{-1}[V]$ é aberto. Ora, se é aberto, foi mostrado que $g$ é contínua.
Assim, $g$ é contínua uma vez que a topologia em questão é a forte. 

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A saber que o critério funciona, será mostrado que $\tau$ precisa ser a topologia forte. 

Considere a situação

{{:topologia:dem:2.png?150|}}

Sabe-se que a função identidade $Id$ é contínua. Como vale o critério, $Id\circ f_i = f_i$ são contínuas. Contudo, veja que, pela definição, a topologia forte é a maior topologia que satisfaz $f_i$ contínuas. Assim, $\tau \subset \tau_{forte}$. 

Agora, suponha 
{{:topologia:dem:3.png?150|}}

Como mudou a topologia, não sabemos se a função identidade $Id$ é contínua.

Note que, por continuidade, a imagem inversa de aberto em $X_{\tau_{forte}}$ é aberto em $X_{\tau}$. Contudo, imagem inversa de aberto em $X_{\tau_{forte}}$ é ele mesmo.

Ou seja, qualquer aberto da topologia forte está incluído na $\tau$. Portanto, $\tau \supset \tau_{forte}$.