topologia:dem:demo3 [WikiMat]

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**Proposição.** Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico satisfazendo o primeiro axioma de enumerabilidade. Sejam $Y \subset X$ e $x \in X$. Então $x \in \overline{Y}$ se, e somente se, existe $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sequência de pontos de $Y$ tal que $y_n \rightarrow x$.

**Demonstração:** Se existe $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sequência de termos de $Y$ que converge para $x$, então [[topologia:seqconv|é evidente]] que $x \in \overline{Y}$. Reciprocamente, se $x \in \overline{Y}$, então consideremos $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma base local de $x$, tal que $V_{n+1} \subset V_n$. Além disso, tomemos $y_n \in V_n \cap Y$, para cada $n \in \mathbb{N}$. Afirmamos que $y_n \to x$. Com efeito, dado $U$ um aberto que contém $x$, então tomando $V_{n_0}$ tal que $V_{n_0} \subset U$, segue que para todo $n \geq n_0$ temos que $y_n \in V_n \subset V_{n_0} \subset U$ e consequentemente $y_n \to x$.