topologia:compcontinua [WikiMat]

===== Compacidade e Funções Contínuas =====

Nesta seção, abordamos a relação entre o conceito de compacidade e funções contínuas. O principal resultado é o seguinte:

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=== Proposição ===
Sejam $X, Y$ espaços topológicos e $f:X \to Y$ uma função contínua sobrejetora. Se $X$ é compacto, então $Y$ também é compacto.
<wrap help>[[dem:ContinuaEmpurraCompacto|Demonstração]]</wrap>

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<WRAP round tip>
Note que poderíamos remover a hipótese de $f$ ser sobrejetora e, então, concluir apenas que $f[X]\subset Y$ é compacto. 
Outra adaptação que podemos fazer nessa proposição é de, ao invés de pedir que $X$ seja compacto, tomamos um $K\subset X$ compacto e concluimos que $f[K]\subset Y$ é compacto.
</WRAP>

A partir deste resultado, conseguimos os seguintes corolários:

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=== Corolário ===
Sejam $X, Y$ espaços topológicos, $Y$ [[topologia:espacohausdorff|Hausdorff]] e $f: X \to Y$ contínua. Se $F\subset X$ é compacto, então $f[F] \subset Y$ é fechado.
<wrap help>[[dem:ImCompT2Fechado|Demonstração]]</wrap>
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=== Corolário ===
Sejam $X, Y$ espaços topológicos Hausdorff, $X$ compacto e $f: X \to Y$ contínua e bijetora. Então $f$ é um [[topologia:homeo|homeomorfismo]].
<wrap help>[[dem:Compacto_Homeo|Demonstração]]</wrap>

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