topologia:compconexa [WikiMat]

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====== Componentes Conexas ======

Quando começamos a pensar em conexidade uma ideia que ajuda é a pensar na **componente conexa** dentro do espaço. 

<WRAP center round box 90%>
**Definição**: Seja $(X,\tau)$ espaço topológico e $x \in X$. Definimos a **componente conexa** de $x$ como $∪_{A \in Ą} A$ onde $Ą$ = {$A ⊂ X$: $x \in A$ e $A$ é conexo}.
</WRAP>


Se observamos a seguinte proposição:

**<wrap hi>Proposição:</wrap>** Seja $(X,\tau)$ espaço topológico e $x \in X$.

  - Se $X = ∪_{∝ \in I} X_{∝}$, onde $X_{∝}$ é conexo e $X_{∝} ∩ X_{β} ≠ \emptyset$ para quaisquer $∝,β \in I$ distintos, então $X$ é conexo.
  - Se para quaisquer $x,y \in X$ existir $A ⊂ X$ conexo tal que $x,y \in A$, então $X$ é conexo.

Teremos que a componente conexa de $x$ é sempre conexa. Desta maneira, é fácil ver que a componente conexa de $X$ contendo $x$ é o maior (no sentido de inclusão) subconjunto conexo de $X$ contendo $x$.

Por outro lado, não é tão óbvio a partir da definição que as componentes conexas são sempre fechada. 

**<wrap hi>Proposição:</wrap>** Componentes conexas são sempre fechadas.

**Demonstração:** Seja $C_{x}$ componente conexa para $x \in X$. Temos por definição $C_{x} ⊂ \overline{C_{x}}$. Como $C_{x}$ é conexo, temos que $\overline{C_{x}}$ é conexo (e contém $x$). Portanto, $\overline{C_{x}} ⊂ C_{x}$. Como queríamos demonstrar.

Veja também:

  - [[topologia:conexidadeintervalos| Conexidade: Intervalos]];
  - [[topologia:mutseparados| Mutuamente separados]];
  - [[topologia:conexcaminhos| Conexos por caminho]].