topologia:compactretasorgquad [WikiMat]

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=== Um resultado sobre o quadrado de Sorgerfrey e sua generalização ===

  * Sabemos de antemão que a reta de Sorgerfrey ($\mathcal{R}_s$) é [[topologia:espacocompletregular|completamente regular]], sabemos também que o produto de espaços completamente regulares é completamente regular. Além disso $\mathcal{R}_s$ é um [[topologia:espacoNormal|espaço normal]], porém $\mathcal{R}_s \times \mathcal{R}_s$ não é [[topologia:espacoNormal|normal]] demonstrado [[.:exemplo:quadradoretadesorgenfrey|aqui]].
  * Vamos verificar agora que existe um conjunto $K$ [[topologia:defcompacto|compacto]] e $T_2$ tal que $\mathcal{R}_s \times \mathcal{R}_s \subset K$
        * Usando o método de compactificação de Stone - $\check{C}$ech, vamos criar tal $k = \{(f(x))_{f \in \mathcal{F}}: x \in \mathcal{R}_s \times \mathcal{R}_s\}\subset [0,1]^{\mathcal{F}}$, onde $\mathcal{F}$ é o conjunto das funções contínuas $f : \mathcal{R}_s \times \mathcal{R}_s \rightarrow [0,1]$.
        * Sendo assim $\mathcal{R}_s \times \mathcal{R}_s$ completamente regular e $T_2$, $K$ é compacto e $T_2$.
  * Assim $K$ é um [[topologia:espacoNormal|espaço normal]], por ser [[topologia:defcompacto|compacto]] e [[topologia:espacoHausdorff|$T_2$]].
  * Com isso fica evidente que nem todo subconjunto de um conjunto normal é normal.
  * Generalizando temos:
        * Para todo [[topologia:espacocompletregular|espaço completamente regular]] $X$ que não é um [[topologia:espacoNormal|espaço normal]], existe ao menos um conjunto $K$ [[topologia:espacoNormal|espaço normal]] tal que $X \subset K$. <wrap right>$\square$</wrap>