topologia:compactos [WikiMat]

====== Compactos ======
Uma das propriedades topológicas mais importantes é a compacidade:

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=== Definição: Cobertura ===
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal{A}$ é uma **cobertura (ou recobrimento)** de $X$ se $\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A=X$. Neste caso, chamamos $\mathcal{A}$ de **cobertura aberta** se os elementos de $\mathcal{A}$ são abertos.
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=== Definição: Espaço Compacto  ===
 Dizemos que o espaço topológico $(X, \tau)$ é um **espaço compacto** se para toda cobertura aberta $\mathcal{A}$ de $X$ existe uma subcobertura $\mathcal{A}^{\prime}$ (i.e., $\mathcal{A}^{\prime} \subset \mathcal{A}$ e $\bigcup_{A \in \mathcal{A}^{\prime}} A=X$ ) finita.
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  * Mostre que qualquer espaço finito é compacto.

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=== Definição: Sub-base  ===
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal{B}$ é uma Uma **sub-base** é algo que, sub-base para $X$ se $\left\{B_{1} \cap \cdots \cap B_{n}: B_{1}, \ldots, B_{n} \in \mathcal{B}, n \in \mathbb{N}\right\}$ é uma base para se fecharmos por inter$X$.
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   *(Lema da sub-base de Alexander): Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $\mathcal{B}$ uma sub-base para $X$. Se toda cobertura para $X$ feita por elementos de $\mathcal{B}$ admite subcobertura finita, então $X$ é compacto.

    - Prove pela definição a primeira implicação: se toda cobertura para $X$ feita por elementos de $\mathcal{B}$ admite subcobertura finita, então $X$ é compacto.  
    - Suponha que $X$ não é compacto sendo $\mathcal{C}$ a coleção de abertos sem cobertura finita. Prova que  $\mathcal{C}$ admite elemento maximal $C$. <WRAP tip>
 Use o Lema de Zorn.
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    - Prove que existe $x \in X$ tal que $x \notin B,    \forall B \in \mathcal{B}\cap C $.
    - Seja $A \in C$ tal que $x \in A$. Note que $\exists B_1, \cdots, B_n \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_1\cap \cdots \cap B_n \subset A$.
    - Mostre que $C \cup \{B_j\}$ admite subcobertura finita.
    - Mostre que $\{A\}\cup C_1 \cup \cdots \cup C_n$ é cobertura de $C$. (DICA: analise quando $y \in A$ e $y \notin A$).
    - Conclua que o Lema é de fato verdadeiro.

  * Mostre que o intervalo $[0,1]$ com a topologia usual é compacto.
<WRAP tip>
Defina a base $\mathcal{B}= \{[0,b[:b<1\}\cup\{]a,1]:a>0\}.$
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