topologia:cober.fechada [WikiMat]

Essa página está em modo somente de leitura. Você pode visualizar a fonte, mas não alterá-la. Informe-se com o administrador do Wiki, caso você ache que isso está incorreto.

//**[Exercício 2.1.20.]** Continuidade em finitas partes fechadas implica continuidade no todo.//

----

== Sejam $(X, \tau)$ e $(Y, \sigma)$ espaços topológicos. Sejam $F_1, ..., F_n \subset X$ fechados tais que $\bigcup_{i=1}^{n} F_{i} = X$. Seja $f : X \rightarrow Y$ uma função. ==

**Proposição 1:** //Se $f \upharpoonright F_{i}$ é contínua para todo $i = 1, ..., n$, então $f$ é contínua.//

//Demonstração:// Seja $F$ um fechado qualquer de $X$. Já que os $F_{i}$ cobrem o espaço todo, temos: $$f^{-1} [F] = \bigcup_{i=0}^{n} F_{i} \cap f^{-1} [F] = \bigcup_{i=0}^{n} \Big(F_{i} \cap f^{-1} [F]\Big)$$
	 
Agora, percebamos que podemos escrever $\big(f \upharpoonright F_{i}\big)^{-1} [F] = F_{i} \cap f^{-1} [F]$ e, então, $$\bigcup_{i=0}^{n} \big(f \upharpoonright F_{i}\big)^{-1} [F] = \bigcup_{i=0}^{n} \Big(F_{i} \cap f^{-1} [F]\Big) = f^{-1} [F]$$
	 
Pela continuidade de $f \upharpoonright F_{i}$, a pré-imagem de fechados é fechada. Sabemos, também, que a união finita de fechados é fechada. Desse modo, $f^{-1} [F]$ é fechado --- e $f$ é contínua.

\\

**Observação:** //Note que a volta é imediata (mesmo que cada $F_{i}$ não seja fechado). Basta lembrarmos que a continuidade de $f$ implica a continuidade de $f$ em todo ponto de $X$.//

\\

**Proposição 2:** //A hipótese de que cada $F_{i}$ deve ser fechado é necessária na Proposição 1.//

//Demonstração:// Considere o intervalo real $[-1, 2]$. Tomemos a função $f$ que leva $[k, k+1) \to [0, 1]$ para cada $k$ inteiro no intervalo. Graficamente teríamos algo como:

{{ :topologia:graph.jpg?nolink&400 |}}

Desse modo, a função $f$ é contínua quando tem seu domínio restringido a $[0, 1)$, por exemplo, mas possui pontos de descontinuidade quando analisada no espaço todo.

\\
=== Veja também ===
  * [[topologia:cober.aberta| Continuidade em partes abertas implicam continuidade no todo.]]