Mostrar páginaRevisões anterioresLinks reversosVoltar ao topo Essa página está em modo somente de leitura. Você pode visualizar a fonte, mas não alterá-la. Informe-se com o administrador do Wiki, caso você ache que isso está incorreto. Se $(X,\tau)$ é um espaço conexo e localmente conexo por caminhos, então $(X,\tau)$ é [[topologia:conexcaminhos|conexo por caminhos]]. **Demonstração** Sejam $x\in X$ e $C=\{y\in X:$ existe um caminho de $x$ para $y\}$. Afirmamos que $C$ é aberto de fechado. Com efeito, __$C$ é aberto__ Seja $y\in C$. Como $X$ é localmente conexo por caminhos, existe $A$ aberto conexo por caminhos tal que $y \in A$. Seja $a\in A$. Então existe um caminho de $y$ para $a$. Como $y\in C$, existe um caminho de $x$ para $y$. Segue que existe um caminho de $x$ para $a$ e $a\in C$. Logo $A\subset C$ e $C$ é aberto. __$C$ é fechado__ Seja $y\in X\backslash C$. Como $X$ é localmente conexo por caminhos, existe $A$ aberto conexo por caminhos tal que $y\in A$. Suponha que $A\cap C\neq\emptyset$ e seja $b\in C\cap A$. Como $b\in C$, existe um caminho de $x$ para $b$, e como $b\in A$, existe um caminho de $b$ para $y$. Então existe um caminho de $x$ para $y$. Mas isso contradiz $y\not\in C$. Logo, $A\cap C =\emptyset$ e $X\backslash C$ é aberto ($C$ é fechado). Com isso, segue da conexidade de $X$ que $C=X$, ou seja, $X$ é conexo por caminhos. topologia/cldemo1.txt Última modificação: 2021/07/01 17:22por dory