solucao:solsup1 [WikiMat]

Essa página está em modo somente de leitura. Você pode visualizar a fonte, mas não alterá-la. Informe-se com o administrador do Wiki, caso você ache que isso está incorreto.

Vamos realizar esta demonstração através da indução na complexidade das fórmulas:
    *Vamos começar com as fórmulas atômicas $F_0$:
           *Temos três casos, $\in, \subset$ e =, vamos fazer um deles e o restante é semelhante
           *Tome $\varphi(x)= x \in y$, para algum $y$ fixado
           *Sabemos por resultados já mostrados no seminário sobre Valorações que 
           $$|b \in y||b=a|\leq|a \in y|$$
           *com isso conseguimos diretamente que $|\varphi(b)||a=b|\leq|\varphi(a)|$
    *Agora devemos continuar o processo de indução supondo que vale para $F_n$ com $n \in \mathbb{N}
    *Dessa forma vamos verificar que vale para $F_{n+1}$
    *Tomemos $\varphi \in {F_{n+1}}$ de maneira que $\varphi = \phi  \vee  \psi$ tal que $\phi,\psi \in F_n$, pela hipótese de indução sabemos que valem
       $$|\phi(b)||b=a|\leq|\phi(a)|  \text{ e }  |\psi(b)||b=a|\leq|\psi(a)|$$
        *com isso temos :
       $$
       \begin{array}{ll}
       |\varphi(b)||a=b| &=|\phi(b)\vee \psi(b)||a=b|=(|\phi(b)| + |\psi(b)|)|a=b|
       \\
       \\
       &=|\phi(b)||a=b|+|\psi(b)||a=b| 
       \\
       \\
       &\leq |\phi(a)|+|\psi(a)|=|\varphi(a)|
       \end{array}
       $$
       *Faltam os casos com os outros símbolos lógicos, porém eles são feitos de maneira bem semelhante, criando funções $\varphi$ usando esses outros símbolos, por exemplo $\varphi = \neg \phi$, se $\phi \in F_n$ <wrap right>$\square$</wrap>