solucao:inc_seq [WikiMat]

==== $\tau \subset \rho$ ====

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Definimos $\mathcal{F}$ pensando em continuidade sobre $\tau$. Pensando na definição de topologia forte, deve valer $\tau \subset \rho$, pois $\rho$ é a **maior** topologia que faz as $f \in \mathcal{F}$ serem contínuas.

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==== $\tau \supset \rho \Leftrightarrow (X, \tau)$ é sequencial ====

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Assumamos $\tau = \rho$. Toda função contínua de $N$ num outro espaço $X$ é tal que $f(n) \to f(\infty)$. Seja $F \subset X$ não fechado. Uma vez que $F$ é não fechado, podemos encontrar um ponto de acumulação $x$ fora dele. Tomemos $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sequência de pontos de $F$ tal que $x_n = f(n)$ para todo $n \in \mathbb{N}$, e $f(\infty) = x$, pois então a sequência converge a um ponto que não pertence a $F$.

Assumamos $(X, \tau)$ sequencial. Para todo $F \subset X$ não fechado, existe $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sequência de pontos de $F$ tal que $x_n \to x$ com $x \notin F$. Tomemos uma função da forma $f(n) = x_n$ e $f(\infty) = x$. Essa função é contínua, pois $f(n) \to f(\infty)$. E, como toda função contínua saindo de $N$ tem essa cara, obtivemos a maior topologia com funções contínuas; $\tau = \rho$.