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====== Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte II) ======


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=== Teorema (Lema de Urysohn) ===
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Então $(X, \tau)$ é $T_4$ se, e somente se, para todo $F, G \subset X$ fechados disjuntos, existe uma função $f: X\to[0, 1]$ contínua tal que $ f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}.$
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**Demonstração.** Por um lado, vamos definir a função $g: F\cup G\to\{0, 1\}$ por $g(x)=0$ quando $x\in F$, e $g(x)=1$ quando $x\in G.$ Como $g\upharpoonright F$ e $g\upharpoonright G$ são obviamente contínuas, então $g$ é contínua pelo [[topologia:Exercise2.1.20JohnMD|Exercício 2.1.20]]. Assim, usando a [[topologia:ExtcontI|Proposição 2]], existe uma extensão contínua de $g$, $f: X\to[0, 1]$ que satisfaz $f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\}.$\\
Por outro lado, sejam $F, G$ conjuntos fechados disjuntos de $X$. Como existe uma função $f: X\to[0, 1]$ contínua tal que $ f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\},$ por conseguinte $f^{-1}([0, \frac{1}{2}[), f^{-1}(]\frac{1}{2},1])$ são conjuntos abertos disjuntos que contêm $F$ e $G$, respectivamente. Portanto, $(X, \tau)$ é $T_4$.


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=== Teorema de Tietze ===
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico $T_4$. Sejam $F\subset X$ fechado e $f: F\to \mathbb{R}$ função contínua. Então existe uma função $\hat{f}:X\to \mathbb{R}$ extensão contínua de $f$.
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**Demonstração.** Como existe uma função $\varphi:]-1, 1 [\to \mathbb{R}$ que é bijetiva com inversa contínua (e.g., $x\mapsto \frac{x}{1-x^2}$), então temos a função contínua $f\circ\varphi^{-1} = f_1: F \to]-1, 1[$, e será suficiente mostrar a existência de uma extensão contínua de $f_1$ como veremos. Graças ao fato de também haver uma função $\phi:[-1, 1] \to [0, 1]$ que é bijetiva com inversa contínua (e.g., $ x\mapsto \frac{x + 1}{2}$), e usando [[topologia: ExtcontI|Proposição2]], temos que existe uma função $g: X \to [-1, 1]$ que estende $f_1.$ Seja $F^{'} = g^{-1}[\{-1, 1\}].$ Observe que $F$ e $F^{'}$ são conjuntos fechados disjuntos. Pelo Lema de Urysohn, existe uma função contínua $h: X \to [0, 1]$ tal que $h[F] = \{1\}$ e $h[F^{'}] = \{0 \}.$ Assim, construímos uma função $\hat{f_1}: X \to]-1, 1[$ definida por $ \hat{f_1}(x) = g(x)h(x)$ que estende continuamente $f_1.$ Portanto, $\hat{f_1}\circ \varphi$ é uma função desejada.



Nesta seção foram usados resultados da [[topologia:ExtcontI|seção anterior]].

=== Veja também: ===     
  * [[topologia:ext.cont.|Extensões contínuas: introdução]]
  * [[topologia:ExtcontI|Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte I)]]