grafos:provadecomarvprop2 [WikiMat]

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\(\text{b}_{1}) + \text{c}_{1}) \implies \text{b}_{1.5})\):

  * \(S_\lambda\) indica as ligações da árvore \(\mathcal{F}\), assim dado \(\lambda\) vértice da árvore relativo a \(G_\lambda\) temos por \(\text{b}_{1})\) que para toda aresta ligando \(G_\lambda\) com outro \(G_\alpha\) existe outro \(G_\beta\) contendo os dois vértices ligados
  * Vamos tomar então \(G_\tau\) e outro \(G_alpha\) assim existe um único caminho na árvore que liga \(\lambda,\alpha\) e por \(\text{c}_{1})\) se \(\beta \in \lambda T \alpha\) então \(G_\alpha \cap G_\lambda \subset G_\beta\)
  * Basta então tomarmos \(G_\alpha\) tal que o caminho \(\alpha T \lambda\) "passe por todo os \(S_\lambda\)" o que é possível por conta do primeiro tópico, assim tal \(G_\beta\) contém \(S_\lambda\)


\(\text{b}_{1}) + \text{c}_{1}) \implies \text{c}_{1.5})\):

  * Se existisse então SPG podemos dizer que \(G_\alpha \subset G_\lambda\) e portanto \(G_\alpha \subset S_\lambda\)
  * Por \(\text{c}_{1})\) se existe \(\beta \in \alpha T \lambda\) temos que \(G_\alpha \cap G_\lambda \subset G_\beta\), então \(S_\lambda \cap G_\alpha \subset G_\beta\) para todo \(\beta\) no caminho
  * Dessa forma \(G_\alpha\) estaria ligado a todos os vértices do caminho, o que não configuraria uma árvore