grafos:difdmed [WikiMat]

==== Qual a diferença entre o Grau Médio de um grafo $G$, $d_{med}(G)$ e a Quantidade Média de arestas pro vértices desse grafo, $\varepsilon (G)$?  ====

Geralmente, tanto a intuição quanto a matemática nos diz que o mínimo de um conjunto de elementos é sempre menor ou igual a média desses elementos. 

Para os grafos, isso corresponde a dizer que o [[.grauMinimo| grau mínimo]] de um grafo $G$ é sempre menor ou igual ao [[.grauMedio| grau médio]] de $G$. Ou seja,

$$\delta(G) \leq d_{med}(G)$$

onde:

$$d_{med}(G) = \frac{1}{|V|} \displaystyle \sum_{v \in V} d(v)$$

E como vimos no [[.numTotaldeArestas|Lema do Aperto de Mão]],

$$\sum_{v \in V} d(v) = 2|A|$$

Logo,

$$\delta(G) \leq \frac{2|A|}{|V|}$$

**E isso está correto!**

Mas repare que para o [[.subgrafoGrauMinimo|Teorema]] o que é tratado **não é o grau médio** do grafo $G$, mas sim a **quantidade média de arestas por vértices** desse dado grafo, que é dada por:

$$\varepsilon(G) = \frac{|A|}{|V|}$$

Veja que o coeficente que acompanha $|A|$ no numerador é **1** e não 2. Logo, a diferença entre os conceitos reside aqui, e, portanto;

$$\delta (H) > \varepsilon (H).$$