forcing:solaxiinfini [WikiMat]

O axioma do infinito é lido como $\exists S \emptyset \in S \wedge (\forall x \in S x\cup\{x\} \in S)$, sendo $\forall x \in S x\cup\{x\} \in S$ uma notação para $\forall x (x \in S \rightarrow x\cup\{x\} \in S)$, com isso vamos aplicar a valoração:

$$[\![ \varphi ]\!] = \sup_{\tau \in S} [\![\emptyset \in \tau \wedge (\forall x (x \in \tau \rightarrow x \cup \{x\}\in \tau))]\!]$$

assim, como "$\emptyset \in \phi \wedge (\forall x (x \in \phi \rightarrow x \cup \{x\}\in \phi))$" é uma fórmulas $\Delta$ que vale ZFC, portanto 
$[\![\check{\emptyset} \in \check{\phi} \wedge (\forall x (x \in \check{\phi} \rightarrow x \cup \{x\}\in \check{\phi}))]\!] = 1$, assim já que 
$[\![\check{\emptyset} \in \check{\phi} \wedge (\forall x (x \in \check{\phi} \rightarrow x \cup \{x\}\in \check{\phi}))]\!] \leq [\![ \varphi ]\!] \implies [\![ \varphi ]\!] = 1$ <wrap right>$\square$</wrap>