forcing:filtrosaumenuniver [WikiMat]

=====Passando por filtros=====

<WRAP info>
Chamamos de $\dot{G}$ o {{entry>nome}} 
$$ \dot{G} = \{(\check{a},a) : a \in \mathcal{A}\} $$ 
onde $\mathcal{A}$ é nossa álgebra de Boole completa fixada.
</WRAP>

Com isso podemos perceber que $[\![ \check{a} \in \dot{G} ]\!]= a$, pois:

$$[\![ \check{a} \in \dot{G} ]\!]= \sup_{t \in dom(\dot{G})} \dot{G}(t)[\![ \check{a} \in t ]\!]$$

pela própria definição, $\dot{G}(\check{a}) = a$, como queríamos.

<WRAP info>
Seja $(P, \leq)$ uma pré-ordem. Dizemos que $F \subset P$ é um filtro se $F \neq \emptyset$ e:
  *$F \neq P$ (condição de não trivialidade);
  * se $p, q \in F$, então existe $r \leq p, q$ tal que $r \in F$;
  *se $p \in F$ e $q \in P$ é tal que $p \leq q$, então $q \in F$.
</WRAP>

<WRAP info>
===Proposição===
$[\![ \dot{G} \text{ é filtro sobre } \check{\mathcal{A}} ]\!]= 1$.<wrap help>[[solufiltroexpuni|Solução]]</wrap>
</WRAP>

<WRAP info>
Dizemos que $X\subseteq \mathcal{A}$ é {{entry>denso}} se $0 \notin X$ e para todo $a\in \mathcal{A}$, $a \neq 0$, existe $x \in X$ tal que $x\leq a$.
</WRAP>

<WRAP info>
===Proposição===
Se $D$ é denso em $\mathcal{A}$, então $[\![ \dot{G} \cap \check{D} \not= \emptyset ]\!]=1$. <wrap help>[[soludensoexpuni|Solução]]</wrap>
</WRAP>

Vamos agora mostrar alguns resultados interessantes:
    *Se $a$ é um conjunto tal que $[\![ \check{a}\subseteq\dot{G} ]\!]=1$, então $\check{a}=\{(\check{1},1) \}$.<wrap help>[[soluprop1uniexp|Solução]]</wrap>
    *Se $a$ é um conjunto tal que $[\![ \dot{G}=\check{a} ]\!]=1$, então $\mathcal{A} = \{0,1\}$.<wrap help>[[soluprop2uniexp|Solução]]</wrap>
    *Unindo os dois resultados acima temos que se $\mathcal{A} \not= \{0,1\}$, então não existe um conjunto $a$ tal que $[\![ \check{a}=\dot{G} ]\!]=1$.