forcing:aumenuniini [WikiMat]

=====Resultados iniciais=====

<WRAP info>
Seja $x$ um conjunto. Definimos o nome $\check{x}$ da seguinte forma:
$$ \check{x} = \{(\check{y},1) : y \in x\} $$

Observe que:
  - $\check{\emptyset}=\emptyset$;
  - Se $x \in y$, então $\check{x} \in \text{dom}(\check{y})$.
  - Se $t \in dom(\check{y})$, então $t = \check{a}$ para algum $a \in y$.
 
</WRAP>

Vamos mostrar agora alguns resultados nomes: 

  * Se $x \in y$, então $[\![ \check{x} \in \check{y} ]\!]= 1$. <wrap help>[[dica:respresuluni1|Solução]]</wrap>
  * Se $x \notin y$, então $[\![ \check{x} \in \check{y} ]\!]= 0$.  <wrap help>[[dica:respresuluni2|Solução]]</wrap>
  * Se $x \subseteq y$, então $[\![ \check{x} \subseteq \check{y} ]\!]= 1$.  
  *  Se $x \not\subseteq y$, então $[\![ \check{x} \subseteq \check{y} ]\!]= 0$.

Faremos os dois primeiros resultados, o restante é análogo. Assim vamos realizar um indução na complexidade, supondo todos os quatro resultados válidos para $t \in dom(\check{y})$ e $s \in dom(\check{s})$.

<WRAP info>
Dizemos que um nome $x$ é um 2-nome se todo $y \in \text{dom}(x)$ é 2-nome e $\text{Im}(x) \subseteq \{0,1\}$.
</WRAP>

Vamos agora construir o resultado de que se $x$ é um 2-nome então existe apenas um único conjunto $a$ que $[\![ x = \check{a} ]\!]=1$:
    *Existência:
        *Usando indução na complexidade, temos que para todo $y \in dom(x)$ vale que existe $a_y$ de maneira que $[\![y \subseteq \check{a_y}]\!]=1$, sendo $a=\{a_{y} : y \in \text{dom}(x) , x(y)=1\}$
        *Vamos mostrar então que $[\![x = \check{a}]\!]=1$ <wrap help>[[dica:respresuluni3|Solução]]</wrap>
    *Unicidade:
        *Para mostrar a unicidade vamos tomar conjuntos $a,b$ tais que $[\![ x = \check{a} ]\!] = 1 = [\![ x = \check{b} ]\!]$ e mostrar que isso implica que $a=b$ <wrap help>[[dica:respresuluni4|Solução]]</wrap>