forcing:aumenuniexp [WikiMat]

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=====Expandindo o universo=====

<WRAP info>
Vamos agora associar agora fórmulas relacionadas a uma álgebra de Boole qualquer $\mathcal{A}$ a álgebra de Boole trivial $\{0,1\}$
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Fixando então $\varphi(v_1,\dots,v_n)$ e sejam $x_1,\dots,x_n$ conjuntos, então vamos mostrar que $\varphi(x_1,\dots,x_n) \iff [\![ \varphi(\check{x_{1}},\dots,\check{x_{n}}) ]\!]_{2} =1$ <wrap help>[[solexpanuni1|Solução]]</wrap>

<WRAP tip>
===Nomenclaturas===
  * $\exists x \in t\phi$ é uma abreviação de $\exists x$ $x \in t\wedge \phi$
  * $\forall x \in t\phi$ é uma abreviação de $\forall x( x\in t \rightarrow \phi)$
</WRAP> 

<WRAP info>
Chamamos de $\Delta_0$ a menor coleção de fórmulas que contém as atômicas e que se $\phi,\psi \in \Delta_0$, então:
   * $\neg \phi$ está em $\Delta_0$
   * $\phi \wedge \psi$ está em $\Delta_0$
   * $\exists x \in t\phi$ está em $\Delta_0$

E definimos $\Delta_0 = \bigcup_{n \in \omega}D_n$ e $D_{n+1} =D_n \cup \{\neg\varphi : \varphi \in D_n\}\cup\{\varphi \wedge \phi:\varphi,\phi \in D_n\}\cup\{\exists x \varphi : \varphi \in D_n\}$$.
</WRAP>

De maneira bem similar, utilizando indução na complexidade, conseguimos mostrar também que a demonstração, acima vale para álgebras de Boole quaisquer, porém há a necessidade de um lema adicional:

<WRAP tip>
===Lema===
Fixado $\varphi(v1,\dots,v_n)\Delta_0$ e sejam $x_1,\dots,x_n$ conjuntos, então $[\![ \varphi(\check{x_{1}},\dots,\check{x_{n}}) ]\!]= [\![ \varphi(\check{x_{1}},\dots,\check{x_{n}}) ]\!]_2$

Lembrando que $[\![]\!]_2$ é o calculo do valor em relação a álgebra de Boole $\{0,1\}$.
</WRAP> 

Usando o resultado anterior vamos mostrar que $[\![ \check{\alpha} \text{ é um ordinal} ]\!]=1$, para todo $\alpha$ ordinal. <wrap help>[[dica:solucaoordaumenuni|Solução]]</wrap>

Vamos mostrar também que o axioma do infinito tem valor $1$. <wrap help>[[solaxiinfini|Solução]]</wrap>

<WRAP tip>
Vamos agora fixar algumas notações. Considere a relação $R = \{(a,b) \in \mathcal{A}^{2} : a \leq b\}$. Pelo que foi feito anteriormente temos $a \leq b$ se, e somente se, $[\![ \check{(a,b)} \in \check{R} ]\!] =1$. Adotaremos então a seguinte notação $[\![ \check{(a,b)} \in \check{R} ]\!] = [\![ \check{a} \leq \check{b} ]\!]$. Lembremos que formalmente $(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}$, de modo que faz sentido falar em $\check{(a,b)}$.  
</WRAP>

Vamos mostrar agora que se vale $a \leq b$, então $[\![ \check{a}\leq\check{b} ]\!] =1$, e se não vale $a \leq b$ temos $[\![ \check{a} \leq \check{b} ]\!]=0$. <wrap help>[[solaleqb1e0|Solução]]</wrap>