demaux:demo1 [WikiMat]

**Lema.** Seja $(X, \tau)$ um espaço de Hausdorff. Sejam $x \in X$ e $K \subset X$ compacto tal que $x \notin K$. Então existem $A$ e $B$ abertos tais que $x \in A$, $K \subset B$ e $A \cap B= \emptyset$. 

**Demonstração:** Para cada $y \in K$, sejam $A_y$ e $B_y$ abertos tais que $x \in A_y$, $y \in B_y$ e $A_y \cap B_y= \emptyset$. Como $K$ é compacto, existem $y_1,...,y_n \in K$ tais que $ K \subset \bigcup_{i=1}^n B_{y_i} $. Agora, sejam $A= \bigcap_{i=1}^n A_{y_i}$ e $B=\bigcup_{i=1}^n B_{y_i}$. Neste caso, ambos são abertos, $x \in A$ e $K \subset B$. Por fim, vejamos que $A \cap B = \emptyset$. Suponha, por contradição, que $z \in A \cap B$. Neste caso, seja $i$ tal que $z \in B_{y_i}$. Note que, como $z \in A$, então $z \in A_{y_i}$, que é contradição com o fato que $A_{y_i} \cap B_{y_i}=\emptyset$.