dem:metricaprodunitinterval [WikiMat]

=== Teorema ===
Seja $(X, \tau)$ um espaço $T_1$. As seguintes afirmações são equivalentes:\\

$(a) X$ é $T_3$, e tem uma base enumerável;\\
$(b) X$ é separável e metrizável;\\
$(c) X$ é homeomorfo a um subespaço de $[0, 1]^{\mathbb{N}}$ (com topologia produto).\\

**Demonstração.**\\ 

  *  $(c)\Rightarrow (a)$. Observe que [[topologia:exemplo:0_1_n | $[0, 1]^{\mathbb{N}}$ é 2nd countable and regular]] (já que sob a topologia produto, [[topologia:dem:demopropdseparavel | separabilidade é preservada por produto enumerável]] and [[topologia:propriedadesbasicasproduto | a regularidade é preservada por produto arbitrário]]). Então, $X$ é homeomórfico a um subespaço regular com base enumerável de $[0, 1]^{\mathbb{N}}$, por causa do [[solucao:subhausdorff | hereditariedade do //segundo axioma de enumerabilidade// em subespaços topológicos]] e [[topologia:dem:subderegularehregular| hereditariedade de regularidade em subespaços topológicos]], respectivamente. Portanto, segue $(a)$, pois o segundo axioma de enumerabilidade e a regularidade são [[topologia:invariantes| invariantes topológicos]].\\

  * $(a)\Rightarrow (c)$. Seja $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ uma base para $X$ e $C:=\{(m, n): \overline{B_m}\subset B_n\}$. Podemos inferir que $C$ não é vazio, porque $X$ é regular. Note que $X$ é normal já que possui uma base enumerável e é regular. A seguinte existência de funções vem da normalidade de $X$. Para cada $(m, n)\in C$, seja $f_{m,n}: X\to [0, 1]$ contínua tal que $f_{m, n}[\overline{B_m}]=\{0\}$ and $f_{m, n}[X\setminus B_n]=\{1\}$. Vamos definir $\mathcal{F}:= \{f_{m,n}: (m, n)\in C\}$. Agora, vamos ver que $\mathcal{F}$ separa pontos de conjuntos fechados. Seja $x\in X$ e $F\subset X$ fechado de tal forma que $x\notin F$. Seja $B_{n_0}$ aum conjunto aberto da base tal que $x\in B_{n_0}\subset X\setminus F$. Então, pela regularidade de $X$, existe $B_{m_0}$ de modo que $x\in B_{m_0}\subset \overline{B_{m_0}}\subset B_n$. Desse modo, $f_{m_0, n_0}(x)=0$ e $f_{m_0, n_0}(F)=\{1\}$. Então, por [[topologia:teoremaimersao| o Teorema da Imersão]], $X$ é homeomorfo a um subespaço de $[0, 1]^{\mathcal{F}}$, mais como $\mathcal{F}$ é enumerável, segue-se que X é homeomorfo a um subespaço de $[0, 1]^{\mathbb{N}}$.\\

  * $(b)\Rightarrow (a)$. Como qualquer espaço metrizável é regular, então $X$ é $T_3$. Além disso, $X$ tem uma base enumerábel graças ao fato de que [[topologia:dem:demomarciapropems| qualquer espaço métrico separável satisfaz o segundo axioma de contabilidade]].\\

  *  $(c)\Rightarrow (b)$. Como [[topologia:exemplo:0_1_n| $[0, 1]^{\mathbb{N}}$ é metrizável e separável]], logo $X$ é homeomorfo a um subespaço metrizável e separável de $[0, 1]^{\mathbb{N}}$, por causa da hereditariedade da metrizabilidade nos subespaços topológicos e da hereditariedade da separabilidade nos subespaços métricos, respectivamente. Portanto, concluímos $(b)$ pela razão de que metrizabilidade e separabilidade são invariantes topológicos.