dem:exemplobes [WikiMat]

=== Todo subespaço de um espaço que tenha base enumerável é separável. ===

\\ Como $X$ tem [[topologia:bases|base]] enumerável, podemos escrever: $\mathcal{B}=\{B_n:n \in \mathbb{N}\}$. Seja $Y$ subespaço de $X$.

 
\\ Queremos mostrar que todo subespaço de um espaço com base enumerável tem base enumerável.


Dada qualquer base enumerável $\mathcal{B}$ de $X$, a coleção $\mathcal{B'}$ de todas as interseções de $B \cap Y$, $B \in \mathcal{B}$, é uma base enumerável de $Y$. De fato, sejam $A'\in \tau_Y$ e $x \in A'$. Existe $A \in \tau$ tal que $A'=A \cap Y$, por definição. Logo, $x \in A$. Como $\mathcal{B}$ é uma base de $X$, existe $B \in  \mathcal{B}$ tal que $x \in B \subset A$. Então, $x \in B \cap Y \subset A \cap Y$. Assim, $Y$ tem base enumerável.

\\ Portanto $Y$ é separável, pois satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.