dem:continuaempurracompacto [WikiMat]

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==== Sejam $X, Y$ espaços topológicos e $f: X \to Y$ uma função contínua bijetora. Se $X$ é compacto, então $Y$ também é compacto. ====

**Demonstração:** Seja ${C}_Y$ uma cobertura aberta de $Y$. 
Como $f$ é contínua, temos que ${C}_X:=\{f^{-1} (A) : A\in {C}\}$ é uma coleção de abertos de $X$. 
Repare também que ${C}_X$ é uma cobertura de $X$, pois se $x\in X$, existe $A\in{C}_Y$ tal que $f(x)\in A$, e portanto, $x\in f^{-1}(A)$.

Assim, temos que ${C}_X$ é uma cobertura aberta de $X$. Por $X$ ser compacto, existe ${C}_X^* \subset {C}_X$ uma subcobertura finita de $X$. 

Repare agora que ${C}_Y^*=\{A\in {C}_Y : f^{-1}(A)\in {C}_X^*\}\subset {C}_Y$ é uma coleção finita de abertos. 

Pela sobrejetividade de $f$, para cada $y\in Y$, existem algum $x\in X$ tal que $f(x) = y$. Mas $x$ pertence a algum $f^{-1}(A)\in C_X^*$. Portanto, $y=f(x)\in A \in C_Y^*$.

Isso mostra que $C_Y^* \subset C_Y$ é uma subcobertura aberta finita para $Y$. Como fizemos esta construção para uma cobertura arbitrária, demonstramos que $Y$ é de fato compacto.