dem:compacto_homeo [WikiMat]

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=== Sejam $X, Y$ espaços topológicos Hausdorff, $X$ compacto e $f: X \to Y$ função contínua bijetora. Então $f$ é um homeomorfismo. ===


**Demonstração:** Já temos a bijetividade e a continuidade de $f$ como hipótese. Para mostrar que $f$ é de fato um homeomorfismo, só resta provar que $f^{-1}: Y \to X$ é contínua.
 
Dizer que uma função é contínua equivale a dizer que imagem inversa de fechados por essa função são fechados.

Seja $F\subset X$ fechado. Repare que $(f^{-1})^{-1}[F] = f[F]$. Mas como $f$ é contínua, $X$ é compacto e $Y$ é Hausdorff, temos pelo [[dem:imcompt2fechado|corolário anterior]] que $f[F]$ é fechado em $Y$. Portanto, a imagem inversa de fechados pela função $f^{-1}$ resulta em fechados em $Y$, concluindo que $f^{-1}$ é contínua e, portanto, $f$ é um homeomorfismo.