conjuntos:dem:demonstracao15 [WikiMat]

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Seja $X$=$\{F': F'$ é filtro e $F \subset F' \}$ 

Seja $\mathcal{F}$ uma cadeia de $X$ 

Considere $\bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$ 

Primeiro, vamos verificar se essa união é um filtro 

Dado $D\in\mathcal{F}$, $1 \in D$, pois $D$ é filtro. Como $D \subset \bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$, $1 \in \bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$

Como $0$ não pertence a nenhum $D \in \mathcal{F}$,pois todos são filtros, $0 \notin \bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$ 

Sejam $a,b \in \bigcup_{C\in\mathcal{F}}$. Temos que $a \in D$ e $b \in E$, para $D,E \in \mathcal{F}$. Como $\mathcal{F}$ é cadeia, $D \subset E$ ou $E \subset D$. Logo $a$ e $b$ estão em um mesmo filtro ($D$ ou $E$) e, consequentemente, $ab$ também está nesse filtro. Se $ab$ está em um filtro de $\mathcal{F}$, $ab \in \bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$ 

Sejam $D \in \mathcal{F}$, $a \in D$ e $b \in A$. $a \in \bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$. Se $a \leq b$, $b \in D$, já que $D$ é filtro. Se $b \in D$, como $D \subset \bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$, $b \in \bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$. Logo, $\bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$ é filtro

Dado $D \in \mathcal{F}$, $F \subset D$. Como $D \subset \bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$, $F \subset \bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$. Logo, $\bigcup_{C\in\mathcal{F}}C \in X$

Note, por último, que para todo $D \in \mathcal{F}$, $D \subset \bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$. Logo, $\bigcup_{C\in\mathcal{F}}C$ é majorante de $\mathcal{F}$

Portanto, pelo lema de Kuratowski-Zorn, X admite majorante, ou seja, existe um ultrafiltro $F'\supset F$ 

Observação: note que poderia haver um filtro $F'' \notin X$ tal que $F'' \supset F'$. Entretanto, se $F'' \supset F'$, $F'' \supset F$, como $F' \supset F$. Mas isso significaria que $F'' \in X$, o que é um absurdo