conjuntos:dem:demonstracao12 [WikiMat]

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==1.== 

Como $1$ é o maior elemento de uma álgebra de Boole e $E \subset A$, qualquer elemento de $E$ é menor que $1$. Logo, considerando $n=1$, temos que $b1 \leq 1$ para qualquer $b1 \in E$. Logo, $1 \in F$.

Sabemos também que todos os elementos de $E$ estão entre $0$ e $1$, uma vez que o conjunto está contido em uma álgebra de Boole. Logo, a multiplicação dos elementos de um subconjunto de $E$ nunca será menor do que $0$. Essa multiplicação também nunca será $0$, uma vez que o conjunto é centrado. Logo, $0 \notin E$.

==2.==

Se $a \in F$, $ \exists c_1, ..., c_n \in E$ tal que $c_1 ... c_n \leq a$

Se $b \in F$, $ \exists d_1, ..., d_n \in E$ tal que $d_1 ... d_n \leq b$

Logo, $c_1 ... c_n d_1, ..., d_n \leq ab$. Como $c_1, ..., c_n, d_1, ..., d_n \in E$, $ab \in F$.

==3.==

Se $a \in F$, $ \exists c_1, ..., c_n \in E$ tal que $c_1 ... c_n \leq a$

Se $a \leq b$, $c_1 ... c_n \leq a \leq b$. 

Como $c_1, ..., c_n \in E$ e $c_1 ... c_n \leq b$, $b \in F$.

Note, por último, que todo elemento de $F$ pertence a $A$. Logo, $F \subset A$.

Portanto, $F$ é um filtro sobre $A$.