Diferenças

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--- topologia:seqcom [2021/07/01 01:43] – criada bsp
+++ topologia:seqcom [2021/07/13 08:50] (atual) – bsp
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-Ser compacto ou ser sequencialmente compacto são propriedades que, em geral, não se implicam em nenhuma das duas direções. Como exemplo temos o espaço $ \beta N $ que é compacto mas não sequencialmente compacto e o espaço $ \omega_{1} $ que é sequencialmente compacto mas não compacto. Entretanto, quanto considerado espaços métricos obtemos a equivalência entre os dois.
+Ser compacto ou ser sequencialmente compacto são propriedades que, em geral, não se implicam em nenhuma das duas direções. Como exemplo temos o espaço $ \beta N $ que é compacto mas não sequencialmente compacto e o espaço [[topologia:exemplo:oprimeiroordinalnaoenumeravel|$ \omega_{1} $]] que é sequencialmente compacto mas não compacto. Entretanto, quanto considerado espaços métricos obtemos a equivalência entre os dois.
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 Seja $ (X,d) $ um espaço métrico. Então são equivalentes
   - $ X $ é compacto.
+  - Todo subconjunto infinito de $ X $ possui ponto de acumulação.
   - $ X $ é sequencialmente compacto.
-  - Todo subconjunto de $ X $ possui ponto de acumulação.
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-**Demonstração:** A equivalência entre 1 e 2 é precisamente as proposições 1 e 2. A equivalência entre 1 e 3 pode ser encontrado [[temporario|aqui]]. <wrap right>$\square$</wrap>
+**Demonstração:** Na [[topologia:ptoacumulu|página]] vemos que 1 implica 2.
+Se vale 2, então dada uma sequência $ (x_{n}) $ então ou $ A = \{x_{n}\} $ é finito e a sequência possui uma subsequência constante ou $ A $ é infinito e, por hipótese, admite um ponto de acumulação $ x \in X $. Segue que existe uma subsequência de $ (x_{n}) $ que converge para $ x $. Portanto 2 implica 3.
+Pela Proposição 3. vemos que 3 implica 1. <wrap right>$\square$</wrap>
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