topologia:partition-of-unity

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-=== Definição ===+=== Definição 1 ===
 Uma **partição da unidade** em $X$ é uma família $(f_{s})_{s\in S}$ de funções contínuas $f_s\colon X\to[0,1]$ tal que, para cada $x\in X$, temos Uma **partição da unidade** em $X$ é uma família $(f_{s})_{s\in S}$ de funções contínuas $f_s\colon X\to[0,1]$ tal que, para cada $x\in X$, temos
 $$ $$
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-=== Exemplo ===+=== Exemplo 2 ===
 A imagem a seguir ([[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Partition_of_unity_illustration.svg|Wikimedia Commons]]) ilustra uma partição da unidade de $S^1$ com quatro funções: A imagem a seguir ([[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Partition_of_unity_illustration.svg|Wikimedia Commons]]) ilustra uma partição da unidade de $S^1$ com quatro funções:
 +
 {{:topologia:partition_of_unity.png?700|}} {{:topologia:partition_of_unity.png?700|}}
 +
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-=== Definição ===+=== Definição 3 ===
 Uma partição da unidade $(f_{s})_{s\in S}$ em $X$ é **localmente finita** se a coleção Uma partição da unidade $(f_{s})_{s\in S}$ em $X$ é **localmente finita** se a coleção
 $$\left\{f^{-1}_s((0,1])\middle|s\in S\right\}$$ $$\left\{f^{-1}_s((0,1])\middle|s\in S\right\}$$
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-=== Definição ===+=== Definição 4 ===
 Uma partição da unidade $(f_{s})_{s\in S}$ em $X$ é **subordinada à uma cobertura $\mathcal{C}$** se para cada $s\in S$, existe $U\in\mathcal{C}$ tal que $f^{-1}_s((0,1])\subset U$. Uma partição da unidade $(f_{s})_{s\in S}$ em $X$ é **subordinada à uma cobertura $\mathcal{C}$** se para cada $s\in S$, existe $U\in\mathcal{C}$ tal que $f^{-1}_s((0,1])\subset U$.
 </WRAP> </WRAP>
  
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-=== Lema ===+=== Lema 5 ===
 Seja $X$ regular tal que toda cobertura aberta de $X$ admite um refinamento localmente finito (não necessariamente aberto/fechado). Então para toda cobertura aberta $\mathcal{U}=\{U_s\}_{s\in S}$ de $X$, existe uma cobertura fechada localmente finita $\mathcal{F}=\{F_s\}_{s\in S}$ de $X$ tal que, para todo $s\in S$, temos $F_s\subset U_s$. Seja $X$ regular tal que toda cobertura aberta de $X$ admite um refinamento localmente finito (não necessariamente aberto/fechado). Então para toda cobertura aberta $\mathcal{U}=\{U_s\}_{s\in S}$ de $X$, existe uma cobertura fechada localmente finita $\mathcal{F}=\{F_s\}_{s\in S}$ de $X$ tal que, para todo $s\in S$, temos $F_s\subset U_s$.
 </WRAP> </WRAP>
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-=== Lema ===+=== Lema 6 ===
 Seja $X$ um espaço topológico e $\mathcal{U}$ uma cobertura aberta de $X$. Se existe uma partição da unidade $(f_s)_{s\in S}$ de $X$ subordinada a $\mathcal{U}$ (não necessariamente localmente finita), então $\mathcal{U}$ admite um refinamento aberto localmente finito. Seja $X$ um espaço topológico e $\mathcal{U}$ uma cobertura aberta de $X$. Se existe uma partição da unidade $(f_s)_{s\in S}$ de $X$ subordinada a $\mathcal{U}$ (não necessariamente localmente finita), então $\mathcal{U}$ admite um refinamento aberto localmente finito.
 </WRAP> </WRAP>
Linha 53: Linha 55:
  
 construímos uma subfamília de $(f_s)_{s\in S}$ localmente finita, a partir da qual temos o resultado. construímos uma subfamília de $(f_s)_{s\in S}$ localmente finita, a partir da qual temos o resultado.
- 
  
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-=== Teorema ===+=== Teorema 7 ===
 Seja $X$ um espaço $T_1$. As condições seguintes são equivalentes: Seja $X$ um espaço $T_1$. As condições seguintes são equivalentes:
-  * O espaço $X$ é paracompacto e Hausdorff. +  - O espaço $X$ é paracompacto e Hausdorff. 
-  * Toda cobertura aberta $\mathcal{U}$ de $X$ admite uma partição da unidade localmente finita subordinada a $\mathcal{U}$.  +  - Toda cobertura aberta $\mathcal{U}$ de $X$ admite uma partição da unidade localmente finita subordinada a $\mathcal{U}$.  
-  * Toda cobertura aberta $\mathcal{U}$ de $X$ admite uma partição da unidade subordinada a $\mathcal{U}$.+  - Toda cobertura aberta $\mathcal{U}$ de $X$ admite uma partição da unidade subordinada a $\mathcal{U}$.
 </WRAP> </WRAP>
 +
 +//Ideia da demonstração. //Temos que $(1)\iff(2)\iff(3)$:
 +  * $(1)\implies(2)$: Como $X$ é paracompacto, toda cobertura aberta $\mathcal{U}=\{U_s\}_{s\in S}$ admite um refinamento localmente finito. Desta forma, pelo Lema 5, obtemos um refinamento $\mathcal{F}=\{F_s\}_{s\in S}$ de $\mathcal{U}$. Utilizando o Lema de Urysohn, podemos então construir a partição da unidade localmente finita subordinada à $\mathcal{U}$ desejada.
 +  * $(2)\implies(3)$: Imediato.
 +  * $(3)\implies(1)$: A paracompacidade de $X$ a partir de $(3)$ é imediata. Para provar que $X$ é Hausdorff, tomamos, dados $x_1,x_2\in X$, a cobertura $\mathcal{U}$ de $X$ definida por $\mathcal{U}\overset{\mathrm{def}}{=}\{X\setminus\{x_1\},X\setminus\{x_2\}\}$. Por hipótese, $\mathcal{U}$ admite uma partição da unidade subordinada a ela, a partir da qual mostramos que $x_1$ e $x_2$ admitem uma separação por abertos disjuntos de $X$.
  • topologia/partition-of-unity.1627513866.txt.gz
  • Última modificação: 2021/07/28 20:11
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