| Se $p=x$, dado $\varepsilon>0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ com $|y_n-y|<\varepsilon$ para todo $n>n_0$. Se $\delta:=\min \{|x_1-p|,\dots,|x_{n_0}-p|\}$, então $(p-\delta,p+\delta)\cap S\subset \{p,x_{n_0+1},x_{n_0+2},\dots\}\Rightarrow g\left((p-\delta,p+\delta)\cap S\right)\subset g\left(\{p,x_{n_0+1},x_{n_0+2},\dots\}\right)=\{y,y_{n_0+1},y_{n_0+2},\dots\}\\ \subset (y-\varepsilon,y+\varepsilon)=\left(g(p)-\varepsilon,g(p)+\varepsilon \right)$.\\ | Se $p=x$, dado $\varepsilon>0$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ com $|y_n-y|<\varepsilon$ para todo $n>n_0$. Se $\delta:=\min \{|x_1-p|,\dots,|x_{n_0}-p|\}$, então $(p-\delta,p+\delta)\cap S\subset \{p,x_{n_0+1},x_{n_0+2},\dots\}\Rightarrow g\left((p-\delta,p+\delta)\cap S\right)\subset g\left(\{p,x_{n_0+1},x_{n_0+2},\dots\}\right)=\{y,y_{n_0+1},y_{n_0+2},\dots\}\\ \subset (y-\varepsilon,y+\varepsilon)=\left(g(p)-\varepsilon,g(p)+\varepsilon \right)$.\\ |
| Como $S$ é fechado, $g$ é contínua e $\mathb{R}$ é $T_4$ (pois é espaço métrico), pelo Teorema de Tietze existe extensão contínua $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ de $g$. $_{\blacksquare}$ | Como $S$ é fechado, $g$ é contínua e $\mathbb{R}$ é $T_4$ (pois é espaço métrico), pelo Teorema de Tietze existe extensão contínua $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ de $g$. $_{\blacksquare}$ |