Diferenças

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--- topologia:exemplo:niemytskibaselocalenum [2021/05/23 20:44] – marcia
+++ topologia:exemplo:niemytskibaselocalenum [2021/07/23 16:52] (atual) – marcia
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-=== O plano  de Niemytski tem base local enumerável. ===
+** O plano  de Niemytski tem base local enumerável. **
-\\ Seja $(x,y) \in P$ ($y \geq 0$), vamos dividir em dois casos:\\
+\\ Seja $(x,y) \in P$ ($y \geq 0$). Vamos dividir em dois casos:\\
-** Caso 1: **  $y >0$.\\
-Defina $\mathcal{V} \doteq  \left\{B_{\frac{1}{n}}\left(x,y\right); \text{ com } n \in \mathbb{N} \text{ e } \frac{1}{n} < y  \right\}$.
+\\ ** Caso 1: **  $y >0$.\\
-Tome $V=B_{\frac{1}{n}} (x,y) \in \mathcal{V}$ vizinhança aberta enumerável de $(x,y)$. Se $A=B_{\frac{2}{n}} (x,y) \subset P$ é aberto, então $(x,y) \in V \subset A$. Como todos os elementos de $\mathcal{V}$ são abertos enumeráveis, $\mathcal{V}$ é base local enumerável para $(x,y)$.
-** Caso 2: **  $y =0$.\\
+Defina $\mathcal{V} \doteq  \left\{B_{\frac{1}{n}}\left(x,y\right); \text{ com } n \in \mathbb{N} \text{ e } \frac{1}{n} < y  \right\}$ onde $B_{\frac{1}{n}}(x,y)$ é a bola com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$.
+Para todo $V=B_{\frac{1}{n}} (x,y) \in \mathcal{V}$, $V$ é vizinhança aberta enumerável de $(x,y)$ pela definição da topologia do plano de Niemytski. Para todo $A=B_{\frac{2}{n}} (x,y) \subset P$ aberto tal que $(x,y) \in A$, existe $V \in \mathcal{V}$ tal que $(x,y) \in V \subset A$. Daí, $\mathcal{V}$ é um sistema fundamental de vizinhanças abertas enumeráveis de $(x,y)$. Como todos os elementos de $\mathcal{V}$ são abertos enumeráveis, $\mathcal{V}$ é base local enumerável para $(x,y)$.
-Defina $\mathcal{V} \doteq  \left\{B_{\frac{1}{n}}\left(x,\frac{1}{n}\right); \text{ com } n \in \mathbb{N}  \right\} \cup {(x,0)}$. \\
+\\ ** Caso 2: **  $y =0$.\\
+Defina $\mathcal{V} \doteq  \left\{B_{\frac{1}{n}}\left(x,\frac{1}{n}\right); \text{ com } n \in \mathbb{N}  \right\} \cup \{(x,0)\}$ onde $B_{\frac{1}{n}}(x,\frac{1}{n})$ é a bola com a métrica usual de $\mathbb{R}^2$. Para todo $V=B_{\frac{1}{n}} (x,\frac{1}{n}) \cup (x,0) \in \mathcal{V}$, $V$ é vizinhança aberta enumerável de $(x,0)$ pela definição da topologia do plano de Niemytski. Se $A=B_{\frac{2}{n}} (x,\frac{2}{n})  \cup (x,0) \subset P$ é aberto, tal que $(x,0) \in A$, existe $V \in \mathcal{V}$ tal que $(x,0) \in V \subset A$. Daí, $\mathcal{V}$ é um sistema fundamental de vizinhanças abertas enumeráveis de $(x,0)$. Como todos os elementos de $\mathcal{V}$ são abertos enumeráveis, $\mathcal{V}$ é base local enumerável para $(x,0)$.
+\\ Em qualquer caso, o plano de Niemytski admite para cada ponto o sistema fundamental de vizinhanças aberta $\mathcal{V}$. Portanto, tem base local enumerável para cada ponto do plano.
 \\ Veja também:
-* [[topologia:basesenumeraveis|Bases Enumeráveis]]
+* [[topologia:baselocalenumeravel|Primeiro axioma de enumerabilidade - Bases locais enumeráveis]]
 ---- struct data ----
-axiomaenum.E1        :
+axiomaenum.E1        : sim
-axiomaenum.E2        :
+axiomaenum.E2        : não
-axiomaenum.E3        :
+axiomaenum.E3        : sim
-axiomaseparacao.t0   :
+axiomaseparacao.t0   : sim
-axiomaseparacao.t1   :
+axiomaseparacao.t1   : sim
-axiomaseparacao.t2   :
+axiomaseparacao.t2   : sim
-axiomaseparacao.t3   :
+axiomaseparacao.t3   : sim
-axiomaseparacao.t4   :
+axiomaseparacao.t4   : não
-axiomaseparacao.t3meio :
+axiomaseparacao.t3meio : sim
-outrostop.metrizavel :
+outrostop.metrizavel : não
 ----