Diferenças
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| topologia:cldemo1 [2021/07/01 17:16] – dory | topologia:cldemo1 [2021/07/01 17:22] (atual) – dory | ||
|---|---|---|---|
| Linha 3: | Linha 3: | ||
| **Demonstração** | **Demonstração** | ||
| - | Sejam $x\in X$ e $C=\{y\in X:$ existe um caminho de $x$ para $y\}$. Afirmamos que $C$ é aberto de fechado | + | Sejam $x\in X$ e $C=\{y\in X:$ existe um caminho de $x$ para $y\}$. Afirmamos que $C$ é aberto de fechado. Com efeito, |
| __$C$ é aberto__ | __$C$ é aberto__ | ||
| Linha 12: | Linha 12: | ||
| Seja $y\in X\backslash C$. Como $X$ é localmente conexo por caminhos, existe $A$ aberto conexo por caminhos tal que $y\in A$. Suponha que $A\cap C\neq\emptyset$ e seja $b\in C\cap A$. Como $b\in C$, existe um caminho de $x$ para $b$, e como $b\in A$, existe um caminho de $b$ para $y$. Então existe um caminho de $x$ para $y$. Mas isso contradiz $y\not\in C$. Logo, $A\cap C =\emptyset$ e $X\backslash C$ é aberto ($C$ é fechado). | Seja $y\in X\backslash C$. Como $X$ é localmente conexo por caminhos, existe $A$ aberto conexo por caminhos tal que $y\in A$. Suponha que $A\cap C\neq\emptyset$ e seja $b\in C\cap A$. Como $b\in C$, existe um caminho de $x$ para $b$, e como $b\in A$, existe um caminho de $b$ para $y$. Então existe um caminho de $x$ para $y$. Mas isso contradiz $y\not\in C$. Logo, $A\cap C =\emptyset$ e $X\backslash C$ é aberto ($C$ é fechado). | ||
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| + | Com isso, segue da conexidade de $X$ que $C=X$, ou seja, $X$ é conexo por caminhos. | ||