| **Demonstração.** Como existe uma função $\varphi:]-1, 1 [\to \mathbb{R}$ que é bijetiva com inversa contínua (por exemplo, $x\mapsto \frac{x}{1-x^2}$), então temos a função contínua $f\circ\varphi^{-1} = f_1: F \to]-1, 1[$, e será o suficiente para mostrar a existência de uma extensão contínua de $f_1$ como vamos ver. Graças ao fato de também haver uma função $\phi: [-1, 1] \to [0, 1]$ que é bijetiva com inversa contínua (e.g., $ x \mapsto \frac{x + 1}{2}$), e usando [[topologia: ExtcontI|Proposição2]], temos que existe uma função $g: X \to [-1, 1]$ que estende $f_1.$ Let $F^{'} = g^{-1}[\{-1, 1\}].$ Observe que $F$ e $F^{'}$ são conjuntos fechados disjuntos. Pelo Lema de Urysohn, existe uma função contínua $h: X \to [0, 1]$ tal que $h[F] = \{1\}$ e $h[F^{'}] = \{0 \}.$ Assim, construímos uma função $\hat{f_1}: X \to]-1, 1[$ definido por $ \hat{f_1}(x) = g(x)h(x)$ que continuamente extends $f_1.$ Portanto, $\hat{f_1}\circ \varphi$ é uma função desejada. | **Demonstração.** Como existe uma função $\varphi:]-1, 1 [\to \mathbb{R}$ que é bijetiva com inversa contínua (e.g., $x\mapsto \frac{x}{1-x^2}$), então temos a função contínua $f\circ\varphi^{-1} = f_1: F \to]-1, 1[$, e será suficiente mostrar a existência de uma extensão contínua de $f_1$ como veremos. Graças ao fato de também haver uma função $\phi:[-1, 1] \to [0, 1]$ que é bijetiva com inversa contínua (e.g., $ x\mapsto \frac{x + 1}{2}$), e usando [[topologia: ExtcontI|Proposição2]], temos que existe uma função $g: X \to [-1, 1]$ que estende $f_1.$ Seja $F^{'} = g^{-1}[\{-1, 1\}].$ Observe que $F$ e $F^{'}$ são conjuntos fechados disjuntos. Pelo Lema de Urysohn, existe uma função contínua $h: X \to [0, 1]$ tal que $h[F] = \{1\}$ e $h[F^{'}] = \{0 \}.$ Assim, construímos uma função $\hat{f_1}: X \to]-1, 1[$ definida por $ \hat{f_1}(x) = g(x)h(x)$ que estende continuamente $f_1.$ Portanto, $\hat{f_1}\circ \varphi$ é uma função desejada. |