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-====== PlayGround ====== +====== Extensões contínuas: Urysohn e Tietze (Parte II) ======
-====== Extensões contínuas (Parte II): Urysohn e Tietze ======+
  
  
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 Por outro lado, sejam $F, G$ conjuntos fechados disjuntos de $X$. Como existe uma função $f: X\to[0, 1]$ contínua tal que $ f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\},$ por conseguinte $f^{-1}([0, \frac{1}{2}[), f^{-1}(]\frac{1}{2},1])$ são conjuntos abertos disjuntos que contêm $F$ e $G$, respectivamente. Portanto, $(X, \tau)$ é $T_4$. Por outro lado, sejam $F, G$ conjuntos fechados disjuntos de $X$. Como existe uma função $f: X\to[0, 1]$ contínua tal que $ f[F] = \{0\}$ e $f[G] = \{1\},$ por conseguinte $f^{-1}([0, \frac{1}{2}[), f^{-1}(]\frac{1}{2},1])$ são conjuntos abertos disjuntos que contêm $F$ e $G$, respectivamente. Portanto, $(X, \tau)$ é $T_4$.
  
-Nesta seção foram usados resultados da [[topologia:ExtcontI|seção anterior]] seção anterior.+ 
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 +=== Teorema de Tietze === 
 +Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico $T_4$. Sejam $F\subset X$ fechado e $f: F\to \mathbb{R}$ função contínua. Então existe uma função $\hat{f}:X\to \mathbb{R}$ extensão contínua de $f$. 
 +</WRAP> 
 + 
 +**Demonstração.** Como existe uma função $\varphi:]-1, 1 [\to \mathbb{R}$ que é bijetiva com inversa contínua (e.g., $x\mapsto \frac{x}{1-x^2}$), então temos a função contínua $f\circ\varphi^{-1} = f_1: F \to]-1, 1[$, e será suficiente mostrar a existência de uma extensão contínua de $f_1$ como veremos. Graças ao fato de também haver uma função $\phi:[-1, 1] \to [0, 1]$ que é bijetiva com inversa contínua (e.g., $ x\mapsto \frac{x + 1}{2}$), e usando [[topologia: ExtcontI|Proposição2]], temos que existe uma função $g: X \to [-1, 1]$ que estende $f_1.$ Seja $F^{'} = g^{-1}[\{-1, 1\}].$ Observe que $F$ e $F^{'}$ são conjuntos fechados disjuntos. Pelo Lema de Urysohn, existe uma função contínua $h: X \to [0, 1]$ tal que $h[F] = \{1\}$ e $h[F^{'}] = \{0 \}.$ Assim, construímos uma função $\hat{f_1}: X \to]-1, 1[$ definida por $ \hat{f_1}(x) = g(x)h(x)$ que estende continuamente $f_1.$ Portanto, $\hat{f_1}\circ \varphi$ é uma função desejada. 
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 +Nesta seção foram usados resultados da [[topologia:ExtcontI|seção anterior]].
  
 === Veja também: ===      === Veja também: ===     
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  • Última modificação: 2021/06/05 14:15
  • por johnmd