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-**//Demonstração://** Seja F uma face em um grafo plano 2-conexo G. Mostramos por indução em ||G|| que G[f] é um ciclo. Se G é ele próprio um ciclo, isto é válido pelo Teorema 4.1.1; portanto, assumimos que G não é um ciclo.
+**//Demonstração://** Seja $f$ uma face em um grafo plano $2$-conexo $G$. Mostramos por indução em $||G||$ que $G[f]$ é um ciclo. Se $G$ é ele próprio um ciclo, isto é válido pelo [[grafos:pretopology#teorema_da_curva_de_jordan_para_poligonos | Teorema da curva de Jordan]] ; portanto, assumimos que $G$ não é um ciclo.
-Pela Proposição 3.1.1, existe um grafo plano 2-conexo H e um plano H-caminho P tal que G. O interior de P está em uma face F de H, que pela hipótese de indução é limitada por um ciclo C.
+Pela [[grafos:2conexo#proposicao | Proposição]], existe um grafo plano $2$-conexo $H \subseteq G$ e um $H$-caminho plano $P$ tal que $G = H \cup P$. O interior de $P$ está em uma face $f'$ de $H$, que pela hipótese de indução é limitada por um ciclo $C$.
-Se G, então F também é uma face de H(Lema 4.2.1(ii)), e estamos em casa pela hipótese de indução. Se G, então H encontra P, então H e J. Pelo Lema 4.2.1(ii), então , F é uma face de P e portanto limitada por um ciclo(Lema 4.1.2(i)).
+Se $G[f] \subseteq H$, então, pelo [[grafos:topintrod#lema_1| Lema 1 $(ii)$]], $f$ também é uma face de $H$, e estamos em casa pela hipótese de indução. Se $G[f] \not \subseteq H$, então $G[f]$ encontra $P \setminus H$, então $f \subseteq f'$ e $G[f] \subseteq C \cup P$. Pelo [[grafos:topintrod#lema_1| Lema 1 $(ii)$]], então , $f$ é uma face de $C \cup P$ e portanto limitada por um ciclo, de acordo com o  [[grafos:pretopology#lema_1 | Lema 1 $(i)$]].
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+=== Referências ===
+  * Reinhard Diestel. [[https://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/preview/Ch4.pdf |“Graph Theory”]] .5th Electronic Edition 2016, pp. 94-95. Acesso em 10/04/2024.
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