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-===Definição===
-Seja $ (X, \tau) $  espaço de Hausdorf. Dizemos que $ (K,\sigma)$ é uma **compactificação** de $X$ se $(K,\sigma)$ é compacto de Hausdorff e $X$ é um subespaço denso de $K$.
-===Definição===
-Seja $ (X, \tau) $ completamente regular. Chamamos de $ \beta X = \overline{ \{(f(x))_{f\in\mathcal{F}}:x\in X\}}\subset [0,1]^\mathcal{F} $, onde $\mathcal{F}$ é o conjunto de todas as funções contínuas $ f : X \rightarrow [0, 1]$. $ \beta X$ é a compactificação de Stone-Čech.
-===Teorema===
- Seja $ (X, \tau) $ completamente regular. Então
-(a) $ \beta X$ é um compacto de Hausdorff tal que $ \overline{X} = \beta X$
-(b) Para toda $f : X \rightarrow [0, 1] $ contínua, existe $\tilde{f} : \beta X \rightarrow  [0, 1]$ extensão contínua de $f$.
-===Proposição===
-Seja $(X,\tau)$ espaço completamente regular e Y um compacto de Hausdorff tal que $X=Y$ e, para qualquer função $f : X\to[0,1]$
-contínua, exista $\tilde{f}: Y\to[0,1]$ extensão contínua de $f$. Então, dada
-$f: X\to K$ contínua, onde $K$ é compacto Hausdorff, existe $\tilde{f}: Y\to K$
-extensão contínua de $f$.
-===Proposição===
-$\beta X$ é o único espaço que satisfaz as condições (a) e (b)
-do Teorema 2 (a menos de homeomorfismo).
-===Proposição===
-Seja $F \subset \beta\mathbb{N}$ fechado infinito. Então $F$ contém um
-subespaço homeomorfo a $\beta\mathbb{N}$.
-===Corolário===
-Seja $F\subset \beta\mathbb{N}$ fechado infinito. Então $|F|=|\beta\mathbb{N}|$.
-===Corolário===
-$\beta\mathbb{N}$ é um compacto onde nenhuma sequência não trivial é convergente.
-===Exercício===
-Podemos mostrar facilmente que esta compactificação não acrescenta apenas um ponto. Mais que isso
-Considere $X=\mathbb{N}\cup\{a\}$ é um compacto de Hausdorff tal que $\mathbb{N}$ tem a topologia usual (como subespaço) e $\overline{\mathbb{N}}=X$
-(a) Mostre que $X$ é homeomorfo ao espaço da sequência convergente.
-(b) Mostre que $f:\mathbb{N}\to [0,1]$ dada $f(n)=0$ se n é par e $f(n)=1$ se $n$ é ímpar, não admite extensão contínua para $X$.
-(c) Conclua que $X$ não é a compactificação de Stone-Čech de $\mathbb{N}$.
-$\mathcal{p}$