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--- grafos:planeduality [2023/06/07 14:01] – edição externa 127.0.0.1
+++ grafos:planeduality [2023/06/07 14:04] (atual) – edição externa 127.0.0.1
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 Seja $G$ um grafo planar e considere qualquer desenho. Cada componente $C$ deste desenho tem um plano dual $C^*$. Considere estes $C^*$ como multigrafos abstratos, e seja $G^*$ sua união disjunta. Então as ligações de $G^*$ são precisamente as de $C^*$, o que pela Proposição $2$,logo acima, correspondem aos ciclos em $G$.
-Inversamente, suponha que $G$ tenha um dual abstrato $G^*$. Para provar que $G$ é planar, basta pelo **Teorema 4.5.1** e pela Proposição $2$, logo acima, mostrar que $\mathcal{B}(G^*)$ tem uma base esparsa. Pela [[grafos:algebralinbas#proposicao_2| proposição]], possui.
+Inversamente, suponha que $G$ tenha um dual abstrato $G^*$. Para provar que $G$ é planar, basta pelo [[grafos:criterionplanarity#teorema_maclane|Teorema de MacLane]] e pela Proposição $2$, logo acima, mostrar que $\mathcal{B}(G^*)$ tem uma base esparsa. Pela [[grafos:algebralinbas#proposicao_2| proposição]], possui.
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+A teoria da dualidade para grafos abstratos e planos pode ser estendida para grafos infinitos. Como estes podem ter vínculos infinitos, seus duais devem então ter 'ciclos infinitos'.
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-A teoria da dualidade para grafos abstratos e planos pode ser estendida para grafos infinitos. Como estes podem ter vínculos infinitos, seus duais devem então ter 'ciclos infinitos'. Tais coisas existem sim, e são fascinantes: surgem como círculos topológicos em um espaço formado pelo grafo e suas extremidades; consulte o Capítulo 8.6
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+=== Referências ===
+  * Reinhard Diestel. [[https://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/preview/Ch4.pdf |“Graph Theory”]] .5th Electronic Edition 2016, pp. 110-113. Acesso em 07/06/2023.
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