Diferenças

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--- grafos:planeduality [2023/06/07 13:55] – edição externa 127.0.0.1
+++ grafos:planeduality [2023/06/07 14:04] (atual) – edição externa 127.0.0.1
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-=== Teorema ===
+=== Teorema (Whitney) ===
 //Um grafo é planar se, e somente se, tiver um dual abstrato.//
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 //**Demonstração:**//
-seja G um grafo planar e considere qualquer desenho. Cada componente C deste desenho tem um plano dual C. Considere estes C como multigrafos abstratos, e seja G sua união disjunta. Então as ligações de G são precisamente as de C, que pela Proposição 4.6.2 correspondem aos ciclos em G.
-Inversamente, suponha que G tenha um dual abstrato G. Para provar que G é planar, basta pelo teorema 4.5.1 e pela proposição 4.6.2 mostrar que B tem uma base esparsa. Pela proposição 1.9.2, sim.
+Seja $G$ um grafo planar e considere qualquer desenho. Cada componente $C$ deste desenho tem um plano dual $C^*$. Considere estes $C^*$ como multigrafos abstratos, e seja $G^*$ sua união disjunta. Então as ligações de $G^*$ são precisamente as de $C^*$, o que pela Proposição $2$,logo acima, correspondem aos ciclos em $G$.
+Inversamente, suponha que $G$ tenha um dual abstrato $G^*$. Para provar que $G$ é planar, basta pelo [[grafos:criterionplanarity#teorema_maclane|Teorema de MacLane]] e pela Proposição $2$, logo acima, mostrar que $\mathcal{B}(G^*)$ tem uma base esparsa. Pela [[grafos:algebralinbas#proposicao_2| proposição]], possui.
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+A teoria da dualidade para grafos abstratos e planos pode ser estendida para grafos infinitos. Como estes podem ter vínculos infinitos, seus duais devem então ter 'ciclos infinitos'.
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-A teoria da dualidade para grafos abstratos e planos pode ser estendida para grafos infinitos. Como estes podem ter vínculos infinitos, seus duais devem então ter 'ciclos infinitos'. Tais coisas existem sim, e são fascinantes: surgem como círculos topológicos em um espaço formado pelo grafo e suas extremidades; consulte o Capítulo 8.6
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+=== Referências ===
+  * Reinhard Diestel. [[https://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/preview/Ch4.pdf |“Graph Theory”]] .5th Electronic Edition 2016, pp. 110-113. Acesso em 07/06/2023.
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