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| Reciprocamente, considere qualquer face $f' \in F(G') \setminus \{f_{e}\}$. Claramente $f' \neq f_1,f_2$ e $f' \cap \dot e = \emptyset$. Portanto, todos os dois pontos de $f'$ estão em $\mathbb{R}^2 \setminus G$ e são equivalentes lá, então $G$ tem uma face $f$ que continua $f'$. Pelo [[grafos:topintrod#lema_1 | Lema 1 $(i)$]], entretanto, $f$ está dentro de um face $f''$ de $G'$. Portanto, $f' \subseteq f \subseteq f''$ e, portanto, $f' = f = f''$ , já que $f'$ e $f''$ são faces de $G'$. | Reciprocamente, considere qualquer face $f' \in F(G') \setminus \{f_{e}\}$. Claramente $f' \neq f_1,f_2$ e $f' \cap \dot e = \emptyset$. Portanto, todos os dois pontos de $f'$ estão em $\mathbb{R}^2 \setminus G$ e são equivalentes lá, então $G$ tem uma face $f$ que continua $f'$. Pelo [[grafos:topintrod#lema_1 | Lema 1 $(i)$]], entretanto, $f$ está dentro de um face $f''$ de $G'$. Portanto, $f' \subseteq f \subseteq f''$ e, portanto, $f' = f = f''$ , já que $f'$ e $f''$ são faces de $G'$. |
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| Pela [[grafos:limgrafoscub#proposicao_2 | Proposição]] basta provar a segunda afirmação. Em uma triangulação plana $G$, todo limite de face contém exatamente três arestas, e cada aresta está no limite de exatamente duas faces, pelo [[grafos:topintrod#lema_2 |Lema 2]]. O grafo bipartido em $E(G) \cup F(G)$ com conjunto de arestas $\{ef | e \subseteq G[f]\}$, portanto, tem exatamente $2|E(G)| = 3|F(G)|$ arestas. De acordo com esta identidade podemos substituir $\ell$ por $2m/3$ na fórmula de Euler, e obter $m=3n-6$. | Pela [[grafos:limgrafoscub#proposicao_2 | Proposição]] basta provar a segunda afirmação. Em uma triangulação plana $G$, todo limite de face contém exatamente três arestas, e cada aresta está no limite de exatamente duas faces, pelo [[grafos:topintrod#lema_2 |Lema 2]]. O grafo bipartido em $E(G) \cup F(G)$ com conjunto de arestas $\{ef | e \subseteq G[f]\}$, portanto, tem exatamente $2|E(G)| = 3|F(G)|$ arestas. De acordo com esta identidade podemos substituir $\ell$ por $2m/3$ na fórmula de Euler, e obter $m=3n-6$. |
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