[Resolução] 10.20.7
Posted: 10 Oct 2022 12:37
Enunciado:
Nos exercícios de 1 a 32, determine a convergência ou divergência da série dada. No caso de convergência, determine se a série converge absoluta ou condicionalmente.
7. \(\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}\)
Solução:
Primeiros vamos considerar a seguinte série:
\(\sum_{n=2}^\infty (\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n + (-1)^n\sqrt{n}}\)
Pelo critério da comparação esta série é divergente:
\(\frac{1}{n + (-1)^n\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n + \sqrt{n}} \geq \frac{1}{2n}\)
\(\frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}\) diverge (Série Harmônica)
Agora, considerando somente a série:
\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)
Pelo critério de Leibniz, ela é convergente:
\(\frac{1}{\sqrt{n}}\) é decrescente
\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0\)
Portanto, a seguinte série é divergente:
\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}\)
Uma vez que se fosse convergente, a série resultante da subtração mostrada também seria convergente, porém foi mostrado que ela diverge.
Nos exercícios de 1 a 32, determine a convergência ou divergência da série dada. No caso de convergência, determine se a série converge absoluta ou condicionalmente.
7. \(\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}\)
Solução:
Primeiros vamos considerar a seguinte série:
\(\sum_{n=2}^\infty (\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n + (-1)^n\sqrt{n}}\)
Pelo critério da comparação esta série é divergente:
\(\frac{1}{n + (-1)^n\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n + \sqrt{n}} \geq \frac{1}{2n}\)
\(\frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}\) diverge (Série Harmônica)
Agora, considerando somente a série:
\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)
Pelo critério de Leibniz, ela é convergente:
\(\frac{1}{\sqrt{n}}\) é decrescente
\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0\)
Portanto, a seguinte série é divergente:
\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}\)
Uma vez que se fosse convergente, a série resultante da subtração mostrada também seria convergente, porém foi mostrado que ela diverge.