[Resolução] 10.20.30
Posted: 10 Oct 2022 00:34
Enunciado:
Determinar a convergência (absoluta/condicional) ou divergência de:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 1/n}{n}
$$
Resolução:
Sabendo que, para valores suficientemente grandes de \(n\), \(\sin 1/n \approx 1/n\), essa série deve se comportar de maneira muito próxima a: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\).
Além disso, também sabemos que: \(\frac{\sin 1/n}{n} > 0 \; \forall \; n \ge 1\).
Sendo assim, seguiremos para o critério da comparação no limite:
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sin (1/n)}{n}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin (1/n)}{n} \cdot \frac{n^2}{1} = \lim_{n \to \infty} n \cdot \sin (1/n)
$$
Aplicando l'Hopital, teremos:
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin (1/x)}{1/x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\cos(1/x) \cdot (-1/x^2)}{-1/x^2} = \lim_{x \to \infty} \cos \frac{1}{x} = 1
$$
Sendo assim, como \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) converge (harmônica generalizada com \(k \gt 1\)) e pela regra da comparação no limite obtivemos \(L > 0\), \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 1/n}{n}\) converge absolutamente (o módulo dos termos são os próprios termos, neste caso).
Determinar a convergência (absoluta/condicional) ou divergência de:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 1/n}{n}
$$
Resolução:
Sabendo que, para valores suficientemente grandes de \(n\), \(\sin 1/n \approx 1/n\), essa série deve se comportar de maneira muito próxima a: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\).
Além disso, também sabemos que: \(\frac{\sin 1/n}{n} > 0 \; \forall \; n \ge 1\).
Sendo assim, seguiremos para o critério da comparação no limite:
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sin (1/n)}{n}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin (1/n)}{n} \cdot \frac{n^2}{1} = \lim_{n \to \infty} n \cdot \sin (1/n)
$$
Aplicando l'Hopital, teremos:
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin (1/x)}{1/x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\cos(1/x) \cdot (-1/x^2)}{-1/x^2} = \lim_{x \to \infty} \cos \frac{1}{x} = 1
$$
Sendo assim, como \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) converge (harmônica generalizada com \(k \gt 1\)) e pela regra da comparação no limite obtivemos \(L > 0\), \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 1/n}{n}\) converge absolutamente (o módulo dos termos são os próprios termos, neste caso).