Enunciado:
Obtenha o seguinte resultado através de operações em séries geométricas:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}
$$
Resolução:
Essa primeira parte de descobrir o raio de convergência da série de potências é desnecessária já que o enunciado já garante \(r \ge 1\)
O primeiro passo para essa solução é notar que estamos tratando uma série de potências com \(x_0 = 0\). Além disso, como é uma série bem comportada (sem muitos termos nulos),
podemos obter o raio delas da seguinte forma:
$$
r = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n} = 1
$$
Além disso, sabemos que para \(x = 1\) a série irá divergir, já que \(\sum_{n=1}^{\infty} n\) diverge (termo geral diverge para infinito) e, para \(x = -1\) também irá divergir, já que \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n\) diverge (termo geral diverge +/- infinito).
Sabendo que uma série geométrica tem a forma:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} aq^n = \frac{a}{1-q}
$$
Podemos manipular nossa série para o seguinte:
$$
x \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}
$$
Dessa forma, ao integrar, iremos obter:
$$
x \sum_{n=1}^{\infty} \int nx^{n-1}\;dx = x \sum_{n=1}^{\infty} x^n
$$
Sabendo que \(\sum_{n=1}^{\infty} x^n\) corresponde à série geométrica com \(a = 1\) e \(q = x\), podemos afirmar:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x}
$$
Fazendo o caminho reverso, derivamos os dois lados:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}
$$
Multiplicando ambos os lados por \(x\), teremos por fim:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}
$$