Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Escolhi este exercício aqui para resolver:

\(MA_{\mathbb{P}}(\mathfrak{c})\) é falso para todo \(\mathbb{P}\) que é CCC e não atômico.

Definições :

Seja \((P, \leq)\) uma pré-ordem.

Dizemos que \(p, q \in P\) são incompatíveis se não existe \(r \in P\) tal que \( r \leq p, q\). Notação: \(p \bot q\).

Dizemos que \(A \subset P\) é uma anticadeia se, dados \(a, b \in A\) distintos, temos que \(a \bot b\).

Dado um filtro \(G\) e uma família \(\mathcal D\) de densos, dizemos que $G$ é \(\mathcal D\)-genérico se \(G \cap D \neq \emptyset\) para todo \(D \in \mathcal D\).

Dizemos que \(P\) satisfaz CCC se toda anticadeia em \(P\) é enumerável.

Seja \(\kappa\) um cardinal. Denotamos por \(MA_{\kappa}\) a afirmação: Dada \((P, \leq)\) uma pré-ordem ccc e dada \(\mathcal D\) uma família de densos em \(P\) com \(|\mathcal D| \leq \kappa\), então existe \(F\) filtro sobre \(P\) tal que \(F\) é \(\mathcal D\)-genérico.

Dizemos que \(P\) é não atômico se para todo \(a\), existem \(b,c < a\) com \(b\) e \(c\) incompatíveis.

Prova \(|\mathbb{P}|\leq \mathfrak{c}\):

Vamos supor \(MA_{\mathbb{P}}(\mathfrak{c})\), assim existe filtro \(F\) e dada uma família de densos \(\mathbb{D}\), \(F\) é \(\mathbb{D}-\)genérico.
vamos então tomar \( D_0 = \mathbb{P} \setminus F\) e mostrar que \(D_0\) é denso em \(F\) e portanto existe um denso que não intersecta \(F\).

Por ser não atômico, para todo \(a \in \mathbb{P}\), existem \(b,c \in \mathbb{P}\) tal que \(b\) e \(c\) são incompatíveis, portanto podemos dizer que não podemos afirmar se algum dos elementos pertence a \(F\), mas podemos afirmar que, se um deles pertence, o outro não pertence. Assim, por ser não atômico, vai existir uma sequência de elementos abaixo de cada um desses elementos (\(b\) e \(c\)), assim construímos um conjunto
\(B\), um denso do tipo \(D_0\).

Pois por \(F\) ser filtro dois elementos dentro dele não podem ser incompatíveis.
Assim para todo elementos \(a \in \mathbb{P}\) existe \(c \in D_0\) tal que \(c \leq a\), portanto existe denso \(B\) tal que \(|B| \leq \mathfrak{c}\), pois se \mathbb{P} é enumerável, seus conjuntos também serão, que não intersecta \(F\), o que gera uma contradição.

Prova \(|\mathbb{P}|> \mathfrak{c}\):

EM CONSTRUÇÂO:

Vamos supor \(MA_{\mathbb{P}}(\mathfrak{c})\), assim existe filtro \(F\) e dada uma família de densos \(\mathbb{D}\), \(F\) é \(\mathbb{D}-\)genérico.

Fixemos uma família de densos \(D_{alpha}\) em \(\mathbb{P}\) tal que existe \(F\) filtro \(D_{alpha}-\)genérico

Vamos tomar \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{P}\) tal que \(|\mathbb{Q}|\leq \mathfrak{c}\).

* Cada denso \(E_{\alpha} = D_{\alpha} \cap \mathbb{Q}\) de \(\mathbb{P}\) será denso em \(\mathbb{Q}\).
* Pelo exercício anterior, não vale \(MA_{\mathbb{Q}}\), portanto, não existe filtro \(G\) \(E_{\alpha}-\)genérico.
* Vamos construir uma anticadeia densa \(E\) em \({\mathbb{Q}}\) que não intercepta o filtro \(F\).
* Por \(\mathbb{P}\) ser não atômico, tomado \(a \in F\), existem \(b,c \in \mathbb{P}\) tal que \(b\) e \(c\) são incompatíveis, assim ao menos um deles não estará no filtro
* Vamos então extender \(E\) para \(\mathbb{P}\), adicionando a ele elementos que sejam incompatíveis, para continuar sendo uma anticadeia, que não estão em \(F\) como citados anteriormente, criando assim um denso que não intercépta \(F\), gerando assim uma contradição com \(F\) ser genérico.
* É interessante observar, que como temos que o tamanho de \(|F^c|>\mathfrak{c} \), podemos criar não enumeráveis destes.

Na primeira parte, tudo está certo a menos de você afirmar que, abaixo de \(a\) existe um elemento do filtro: na verdade, o que você consegue provar é que existe pelo menos um que não está no filtro (e é só isso que você precisa). Meio que a demonstração que você escreveu dá isso - você pegou dois incompatíveis e pelo menos um deles não pode estar no filtro (mas não é certeza que o outro necessariamente está no filtro).

Só que repare que isso mostra que existe um denso tal que o filtro não o intercepta. Tente ver porque isso implica que não vale a hipótese (é aqui que você vai usar o tamanho da ordem).

Já a segunda parte o que ele está tentando fazer é ajeitar as coisas para cair no caso anterior. Mais ou menos você precisa achar uma parte menor dentro da sua ordem e ver como fazer as traduções de densos e filtros entre as ordens.

O primeiro caso está certo (parece) mas confuso. Acho melhor tentar reescrever, principalmente na parte que usa a hipótese de não ser atômica.

O segundo caso ainda precisa tomar cuidado. Eu acho que você não vai precisar usar novamente que não é atômica (quer dizer, só vai usar para poder usar o caso anterior).
Você escreveu mais ou menos um roteiro, mas acho que precisa de fato fazer a demonstração (tem umas passagens ali que não vão ser necessárias).
Tente começar definindo quem é a sua família de densos que vão gerar a contradição.

PS - Acho mais fácil criar uma nova resposta, não editar a antiga...

Prova \(|\mathbb{P}|\leq \mathfrak{c}\):

Vamos supor \(MA_{\mathbb{P}}(\mathfrak{c})\), assim existe filtro \(F\) e dada uma família de densos \(\mathbb{D}\), \(F\) é \(\mathbb{D}-\)genérico.
vamos então tomar \( D_0 = \mathbb{P} \setminus F\) e mostrar que \(D_0\) é denso em \(F\) e portanto existe um denso que não intersecta \(F\).

Por ser não atômico, para todo \(a \in \mathbb{P}\), existem \(b,c \in \mathbb{P}\) tal que \(b\) e \(c\) são incompatíveis, portanto sem perda de generalidade se \(b \in F\), então \(c \notin F\), existe ainda a possibilidade de \(b,c \notin F\). Assim, por ser não atômico, vai existir uma sequência de elementos abaixo de cada um desses elementos (\(b\) e \(c\)), que não pertencem a \(F\), construímos então um conjunto \(B\) com eles, um denso do tipo \(D_0\).

Por \(F\) ser filtro dois elementos dentro dele não podem ser incompatíveis.
Assim para todo elementos \(a \in \mathbb{P}\) existe \(c \in D_0\) tal que \(c \leq a\), portanto existe denso \(B\) tal que \(|B| \leq \mathfrak{c}\), pois se \mathbb{P} é enumerável, seus conjuntos também serão, que não intersecta \(F\), o que gera uma contradição.

Prova \(|\mathbb{P}|> \mathfrak{c}\):

EM CONSTRUÇÂO (Talvez agora esteja certo, tentei ser mais claro).

Vamos supor \(MA_{\mathbb{P}}(\mathfrak{c})\), assim existe filtro \(F\) e dada uma família de densos \(\mathbb{D}\), \(F\) é \(\mathbb{D}-\)genérico.

Fixemos a família de densos \(D_{\alpha}\) em \(\mathbb{P}\) tal que existe \(F\) filtro \(D_{\alpha}-\)genérico

Vamos tomar \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{P}\) tal que \(|\mathbb{Q}|\leq \mathfrak{c}\).

* Pelo exercício anterior, não vale \(MA_{\mathbb{Q}}\), portanto, não existe filtro \(G\) \(E_{\alpha}-\)genérico.
* Vamos construir uma anticadeia densa \(E\) em \({\mathbb{Q}}\) que não intercepta o filtro \(F\).
* Por \(\mathbb{P}\) ser não atômico, tomado \(a \in F\), existem \(b,c \in \mathbb{P}\) tal que \(b\) e \(c\) são incompatíveis, assim ao menos um deles não estará no filtro.
* Vamos tomar uma anticadeia densa \(E\) em \(\mathbb{Q}\) que não intercépta \(G = F \cap \mathbb{Q}\), por sabermos que não vale \(MA_{\mathbb{Q}}\), tal \(E\) existe.
* Vamos então extender \(E\) para uma aticadeia maximal em \(\mathbb{P}\), adicionando a ele elementos que sejam incompatíveis a elementos de \(F\) e entre sí, para continuar sendo uma anticadeia que não intersecta \(F\), criando assim um denso que não intercépta \(F\), gerando assim uma contradição com \(F\) ser genérico.
* É interessante observar, que como temos que o tamanho de \(|F^c|>\mathfrak{c} \), podemos criar não enumeráveis destes.