[Resolução] 11.7.3
Posted: 09 Oct 2022 19:11
Calcular o raio e intervalo de convergência de:
\(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+3)^n}{(n+1).2^n}\)
Resposta:
Para saber se a série converge, utilizaremos de seus termos \(a_n(x) = \frac{(x+3)^n}{(n+1).2^n}\) para calcular o critério da razão:
Se \(\lim _{n \to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}| < 1\), então a série converge.
Dessa forma, fazemos:
\(\lim _{n \to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim _{n \to \infty }|\frac{(x+3)^{n+1}}{(n+2).2^{n+1}}.\frac{(n+1).2^n}{(x+3)^n}| = \lim _{n \to \infty }|\frac{(x+3).(n+1)}{2.(n+2)}| = \lim _{n \to \infty }|\frac{(x+3).n+x+3}{2.n+4}|\)
Aplicalndo L'hospital no limite, chegaremos à seguinte expressão:
\(\lim _{n \to \infty }|\frac{(x+3).n+x+3}{2.n+4}| = \lim _{n \to \infty }|\frac{(x+3)}{2}| = |\frac{(x+3)}{2}|\)
Dessa forma, como ela deve ser menor do que 1 para a série convergir, resolvemos a inequação:
\(|\frac{(x+3)}{2}| < 1 \Longrightarrow |x+3| < 2\)
Para eliminar o módulo da inequação, teremos 2 casos a resolver:
\(x+3 < 2 \Longrightarrow x < -1\)
\(x+3 > -2 \Longrightarrow x > -5\)
Por fim, testaremos os extremos do intervalo x = -5 e x = -1 para saber a convergência da série nesses pontos:
Para x = -5, \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-5+3)^n}{(n+1).2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{(n+1).2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}\)
Pelo critério de Leibriz, como a sequência \(a_n = \frac{(-1)^n}{n+1}\) é alternada e \(\lim _{n \to \infty } \frac{1}{n+1} = 0\), então a série converge.
Para x = -1, \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1+3)^n}{(n+1).2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{(n+1).2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}\)
Comparando no limite com a série harmônica de razão 1 \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}\):
\(\lim _{n \to \infty } \frac{n+1}{n} = 1 > 0\). Portanto, como a série harmônica diverge, esta também diverge.
Em conclusão o intervalo de convergência da série \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+3)^n}{(n+1).2^n}\) para \(x \in \mathbb {R}\) é:
\(x \in [-5, -1[\)
Que é um intervalo centrado em \(x_0 = -3\) e com raio de convergência r = 2.
\(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+3)^n}{(n+1).2^n}\)
Resposta:
Para saber se a série converge, utilizaremos de seus termos \(a_n(x) = \frac{(x+3)^n}{(n+1).2^n}\) para calcular o critério da razão:
Se \(\lim _{n \to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}| < 1\), então a série converge.
Dessa forma, fazemos:
\(\lim _{n \to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim _{n \to \infty }|\frac{(x+3)^{n+1}}{(n+2).2^{n+1}}.\frac{(n+1).2^n}{(x+3)^n}| = \lim _{n \to \infty }|\frac{(x+3).(n+1)}{2.(n+2)}| = \lim _{n \to \infty }|\frac{(x+3).n+x+3}{2.n+4}|\)
Aplicalndo L'hospital no limite, chegaremos à seguinte expressão:
\(\lim _{n \to \infty }|\frac{(x+3).n+x+3}{2.n+4}| = \lim _{n \to \infty }|\frac{(x+3)}{2}| = |\frac{(x+3)}{2}|\)
Dessa forma, como ela deve ser menor do que 1 para a série convergir, resolvemos a inequação:
\(|\frac{(x+3)}{2}| < 1 \Longrightarrow |x+3| < 2\)
Para eliminar o módulo da inequação, teremos 2 casos a resolver:
\(x+3 < 2 \Longrightarrow x < -1\)
\(x+3 > -2 \Longrightarrow x > -5\)
Por fim, testaremos os extremos do intervalo x = -5 e x = -1 para saber a convergência da série nesses pontos:
Para x = -5, \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-5+3)^n}{(n+1).2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{(n+1).2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}\)
Pelo critério de Leibriz, como a sequência \(a_n = \frac{(-1)^n}{n+1}\) é alternada e \(\lim _{n \to \infty } \frac{1}{n+1} = 0\), então a série converge.
Para x = -1, \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1+3)^n}{(n+1).2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{(n+1).2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}\)
Comparando no limite com a série harmônica de razão 1 \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}\):
\(\lim _{n \to \infty } \frac{n+1}{n} = 1 > 0\). Portanto, como a série harmônica diverge, esta também diverge.
Em conclusão o intervalo de convergência da série \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+3)^n}{(n+1).2^n}\) para \(x \in \mathbb {R}\) é:
\(x \in [-5, -1[\)
Que é um intervalo centrado em \(x_0 = -3\) e com raio de convergência r = 2.