Tire uma dúvida, deixe uma dúvida

Para cada \(
\epsilon\) existe um \(N\) tal que \(|\alpha_n-L|<\epsilon\) se \(n\ge N\), sendo \(L=\lim_{n\to\infty}a_n\). Determinar, em cada caso, o valor de \(N\) adequado a cada um dos seguintes valores de \(\epsilon : \epsilon =1;0,1;0,01;0,001;0,0001
\)

\(
a_n = \frac{1}{n!}
\)

Temos que o limite da sequência acima é igual a 0 pois:
\(
\lim_{x \rightarrow \infty} {\frac{1}{x!}} = \frac{\lim_{x \rightarrow \infty} {1}}{\lim_{x \rightarrow \infty} {x!}} = \frac{1}{\infty} = 0 \implies \lim_{n \rightarrow \infty}{an = \frac{1}{n!}} = 0
\)

Sendo assim, precisamos aplicar \( |a_n - L| < \epsilon \), sendo L o limite = 0:
\(
|a_n - L| < \epsilon \implies \frac{1}{n!} < \epsilon
\)

Agora substituamos os \(\epsilon \):

i) \(\epsilon \) = 1
\(
\frac{1}{n!} < 1 \implies n! > 1 \therefore n > 1
\)

ii) \(\epsilon \) = 0,1
\(
\frac{1}{n!} < 0,1 \implies n! > 10 \therefore n > 3
\)

iii) \(\epsilon \) = 0,01
\(
\frac{1}{n!} < 0,01 \implies n! > 100 \therefore n > 4
\)

iv) \(\epsilon \) = 0,001
\(
\frac{1}{n!} < 0,001 \implies n! > 1000 \therefore n > 6
\)

v) \(\epsilon \) = 0,0001
\(
\frac{1}{n!} < 0,0001 \implies n! > 10000 \therefore n > 7
\)


Thiago Henrique dos Santos Cardoso, 11796594